证明：因为
 ，
  ，而 存在，即 ，所以  ，故 在 处可导，且 。
注意：定理1、2的逆命题不成立。论文发表，分段点。即如果分段
函数在分段点处连续，且在的空心邻域内可导，但 与 至少
有一个不存在或 不存在时， 可能存在，也可能不存在。此时应该采用导数的定义判定。
现在我们利用定理1和定理2来分析以上列举的分段连续函数例2-例5在分段点处的可导性。例2、3和例4都是属于定理1的应用情形。 在例2中， ；在例4中， ，所以导函数 分段点的极限值可看作是在该点的导数。在例3中，由于 ，故根据定理1，可判定在不可导。例5是属于定理2中 不存在的情形，此时应用导数的定义判断。
对于分段函数在分段点的求导问题，首先判定函数在分段点处的连续性，若不连续则不可导。若分段函数在分段点处连续，可应用定理1和定理2来判定。定理1和定理2具有计算较为简便、实用性强，且这种方法易于被学生接受，对帮助学生开拓思维有一定益处。在定理的使用中，要注意到定理的局限性，当导函数在分段点两侧左右极限不都存在时，必须用导数的定义来判断该点的可导性。
参考文献
[1]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京:高等教育出版社，2003.
[2]姜海勤，曹瑞成．分段函数分段点可导性的一个定理及应用[J]扬州职业大学学报，2008,6：42-44.
[3]何彦力.分段函数分段点的有关讨论及证明[J].江苏广播电视大学学报,1999,10(3)：86-87.
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