论文导读：本文对导数极限定理做了进一步分析，在极限 不存在时， 的存在性具有不确定性，我们不能误认为不存在。该研究结论对深刻理解导数极限定理有很大的帮助。
关键词：导数，极限，存在性，确定性
引 言 导数极限定理为我们提供了研究分段函数在分段点导数的方法，但其条件是在极限存在时，得出了的存在性。对极限不存在时，的存在性没有进行讨论，我们不能误认为不存在。本文就这一问题做了进一步的研究，得出了极限不存在时，具有不确定性。
导数极限定理
设函数 在点 的某邻域 内连续，在 内可导，且极限存在，则在点可导，且 。论文参考网。论文参考网。
证明：任取 ，在 上满足拉格朗日定理条件，则存在 ，使得  。(1)
由于 ,因此当 时,有 ，对（1）式两边取极限，便得 ，
即 。
同理可证  。论文参考网。
因为 存在，所以 ，从而 ，即。
例1设函数 ，求 。
解 显然在 内连续，在 内可导， 当 时， ，
由无穷小量的性质 ，
取 ， ，显然 ， ，
而 ， ， ， ，
由归结原则 不存在，所以 不存在，
但  。
故 。
例2设函数 ，求。
解 显然在内连续，在内可导， 当时， ，
取，，显然，，
而 ， ， ， ，
由归结原则 不存在。
由  不存在。
故不存在。
通过对上述两个例子的讨论，大家在应用导数极限定理研究函数的导数时，特别要注意不存在时，不一定不存在，它的存在性具有不确定性。
参考文献
[1]华东师范大学数学系编.数学分析（第三版）. 北京：高等教育出版社，2001年(2005重印)
[2]欧阳光中,朱学炎等编.数学分析（第三版）.高等教育出版社，2007年
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