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导数极限定理的进一步研究(图文)

时间:2011-04-22  作者:秩名

论文导读:本文对导数极限定理做了进一步分析,在极限不存在时,的存在性具有不确定性,我们不能误认为不存在。该研究结论对深刻理解导数极限定理有很大的帮助。
关键词:导数,极限,存在性,确定性
 

引 言 导数极限定理为我们提供了研究分段函数在分段点导数的方法,但其条件是在极限存在时,得出了的存在性。对极限不存在时,的存在性没有进行讨论,我们不能误认为不存在。本文就这一问题做了进一步的研究,得出了极限不存在时,具有不确定性。

导数极限定理

设函数在点的某邻域内连续,在内可导,且极限存在,则在点可导,且。论文参考网。论文参考网。

证明:任取上满足拉格朗日定理条件,则存在,使得 。(1)

由于,因此当时,有,对(1)式两边取极限,便得

同理可证 。论文参考网。

因为存在,所以,从而,即

例1设函数,求

解 显然内连续,在内可导, 当时,

由无穷小量的性质

,显然

由归结原则不存在,所以不存在,

例2设函数,求

解 显然内连续,在内可导, 当时,

,显然

由归结原则不存在。

不存在。

不存在。

通过对上述两个例子的讨论,大家在应用导数极限定理研究函数的导数时,特别要注意不存在时,不一定不存在,它的存在性具有不确定性。


参考文献
[1]华东师范大学数学系编.数学分析(第三版). 北京:高等教育出版社,2001年(2005重印)
[2]欧阳光中,朱学炎等编.数学分析(第三版).高等教育出版社,2007年
[3]B.A.卓里奇著,蒋铎等译. 数学分析(第4版). 北京:高等教育出版社,2006年
[4]Tom M.Apostol著,刑富冲等译. 数学分析(原书第2版). 北京:机械工业出版社,2006年
[5]G.M.菲赫金哥尔茨著,叶彦谦译.微积分学教程(第8版). 北京:高等教育出版社,2006年
 

 

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