论文导读：本文在完全市场环境下，通过构造适当的等价拟鞅测度，研究了当债券价格为时间的确定性函数的情形时具有幂型支付重置期权的定价问题．从而，得到了在分数Brown运动驱动下，具有幂型支付的看涨期权的定价公式。
关键词：等价拟鞅测度重置期权，分数风险中性定价，幂型支付
一、引言
重置期权是一种奇异期权，是指当原生资产的价格达到某一预先给定的水平时，按合约的规定将重新设定敲定价格，以使持有人有更多的获益机会重置期权分为规定时间的重置期权和规定水平的重置期权。规定时间的重置期权重新设定敲定价格的过程在预先规定的时间进行，规定水平的重置期权重新设定敲定价格的过程在预先规定的水平进行。重置期权已于世界多处的证券市场有买卖交易，也有依附于结构犁商品之内，而在柜台市场交易．单点重设型卖权由Gray及Whaleyll 所介绍[1-2]；文献[3]假设股票价格服从possion跳，在风险中性假设下从概率论的角度推导出重置期权的定价公式；文献[4]在分数布朗运动驱动下，推导出了幂型期权定价公式；文献[5]对一种具有幂型支付创新的重置期权进行了定价。论文参考。本文研究标的资产的价格过程服从几何分数Brown运动，一种具有幂型重置期权的定价。
二、预备知识
定义[6]1:（分数Brown运动）设 为一概率空间,  为一常数, 称高斯过程 为具有Hurst 参数H的(1 维) 分数布朗运动, 若
 满足:  且
定义[6]2:（分数Ito过程）基于分数Brown运动，定义Ito过程 如下：
其中， 为的时变均值， 为的时变方差。
引理[6][7]1：（几何分数Brown运动）考虑随机微分方程 ，其中， 为常数， ，则 。
引理[6][7]2：（分数Gisanov定理）若 ， ，
则在风险中测度 下，相对于一个自然分数Brown集 ， 是拟鞅。论文参考。即 。
设在风险中性市场上存在两种投资可能性，一种是具有无风险债券，满足 ，其中 为瞬时无风险利率；另一种风险资产为股票，满足几何分数Brown运动，即在风险中测度下， ， 为常数。
引理[7]2：（分数风险中性定价）在风险中测度下，任意的可测未定权益 在任意时刻 的价格为 。
考虑另一风险中性测度 , ，其中 为风险中测度下分数Brown运动， ，则 为风险中测度下分数Brown运动。免费论文网。 令 。可得测度变换公式
引理[6]3：若函数 满足 ，则对，有下面的对等关系：
 。免费论文网。论文参考。
三、分数重置幂型创新期权的定价模型
设在风险中性市场上存在两种投资可能性，一种是具有无风险债券，另一种风险资产为股票，其价格过程如前所述。免费论文网。
本文要介绍的期权是实际上是一种特殊的欧式重置买权[5]，与具有幂型支付的重置期权的区别在于：在事先指定的时间 ，期权持有者必须对原定的履约价 重设，将履约价重设为 ，但是如果 ，他在时刻将获得现金流入 。
于是该期权到期价值  表示如下：
该期权时刻的现金流入 表示如下：
定理：在风险中性概率空间下，债券及股票的价格过程如前所述，则具有幂型重置期权在零时刻的价格为
 (1)
其中 ，
 ，
证明：由引理2可得，幂型重置期权在零时刻的价格为
 （2）
先计算(2)的第一项，为此定义 ，则 是风险中性测度下的分数Brown运动。于是
 （3）
再计算(2)的第二项，定义 ，则 是风险中性测度 下的分数Brown运动。于是
 （ 4）
接下来计算(2)的第三项
 （5）
最后计算(2)的第四项
 （ 6）
结合（2）（3）（4）（5）（6）即得结论。
四、结束语
本文在标的资产的价格服从几何分数Brown运动的条件下，运用分数风险定价原理，推导出了一种具有幂型支付的创新重置期权的定价公式。当 时，公式(1)就是通常Brown运动的条件下的一种具有幂型支付的创新重置期权的定价公式。当 时，即不重新设置履约价时，公式(1)就是分数Brown运动的条件下的具有幂型支付期权的定价公式。
参考文献
[1] S.F.Gray,R.E.Whaley.ValuingBear Marked Reset Warrants with a periodic rest[J]
Journal ofDerivatives 1997,5(1):99-106
[2]S.F.Gray,R.E.Whaley.ResetPut Options:Valuation,Risk Characteristcs and an Application [J]Australian Journalof Management 1999,24(1):1-20
[3]李松芹、张寄洲.跳扩散模型下重置期权的定价[J]高等学校计算数学学报，2005，27：182-187
[4]Zhao Wei.Pricingof European options with power payoff based on FBM [J] Mathematics inEconomics2008,25(4):356-361
[5]Ou Hui,YaoLuo-gen,Yang Xiang-qun.An innovation of reset options and its pricing[J]Journal of Hunan Univetsity of Arts and Science(Natural Science Edition)2009,21(3):12-16
[6]Xiao Yan-qing,ZhouJie-zhong.Measure Transformation and Option Pricing in Fractional BrownianMotion Environment [J] Mathematics in Practice and Theory 2008,38(20):58-62
[7]Hu Y,OksendalB.Fractionalwhite noise calculus and applications to finance [J] Infinite Dimensional Analysis,Quantum probability and Related Topics 2003 6:1-32
|
