例5 设 ，讨论 在 处是否可导？
错误的解法：
由 不存在，故在 不可导。事实上，在处可导，且 。这是因为在处，由导数定义
 ，故在可导。显然用不存在来说明在不可导是错误的。
因此，分段连续函数在分段点 的导数 看作导函数 在该点的极限值是有条件的。我们知道若函数在点处连续，则函数在该点的极限值与函数值相等，即有 成立。所以，当已知的导函数在点处连续时，将函数在点处的导数看作导函数在点处的极限值是成立的。
定理 1 设 在分段点处连续，且在的空心邻域内可导，则（1） 当 ( 为常数) 时，则在处可导，且 ;
（2） 当 与 都存在但不相等时，则不存在。
证明：（1）因为分段函数在分段点处连续，且在的空心邻域内可导，由拉格朗日中值定理有：
当 时，在开区间 内至少有一点 ，使
 。论文发表，分段点。
当 时，得到 ， 则 
 。
当 时，在开区间 内至少有一点，使
  ，
则  
 。
即在处的左右导数存在且相等，故在处可导，且。此时在处连续。
（2） 由（1）的证明知，与都存在但不相等时，在处的左、右导数存在，但不相等，故在处不可导。
定理 2 设分段函数 在处连续， 在 内可导，若 存在，则在分段点处可导，且 。论文发表，分段点。
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