 
此时， ， ， ，所以
 （次）.
6.3 减小方差的各种技巧
显然，当给定置信度α后，误差ε由σ和N决定.要减小ε，或者是增大N，或者是减小方差 .在 固定的情况下，要把精度提高一个数量级，试验次数N需增加两个数量级.因此，单纯增大N不是一个有效的办法.
另一方面，如能减小估计的均方差σ，比如降低一半，那误差就减小一半，这相当于N增大四倍的效果.因此降低方差的各种技巧，引起了人们的普遍注意.
一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子样的时间增加.在固定时间内，使观察的样本数减少.所以，一种方法的优劣，需要由方差和观察一个子样的费用（使用计算机的时间）两者来衡量.这就是蒙特卡罗方法中效率的概念.它定义为 ，其中c 是观察一个子样的平均费用.显然越小，方法越有效.
总的来说，增大样本 的值对计算机要求较高；减小方差的技巧都只具有指导思想上的意义.对于实际的计算问题，往往要求对涉及的随机变量有先验的了解，或者对发生的物理过程的性态有一定的认识.通过利用这些预知的信息采取相应的手段减小误差，提高精度.
附录
1.
（1） n=1000;p={}
Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[];
If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}];
AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
（2） n=10000;p={}
Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[];
If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}];
AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
（3） n=100000;p={}
Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[];
If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}];
AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
2. n=1000;p={}
Do[m=0;
Do[x=Random[];y=Random[];z=Random[];
If[x^2+y^2<=1&&x^2+z^2<=1&&y^2+z^2<=1,m++],{k,1,n}];
AppendTo[p,N[8m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
3. n=1000;p={}
Do[m=0;
Do[x=Random[Integer]+2;y=Random[Integer]+1;
If[x>y,m++],{k,1,n}];
AppendTo[p,N[m]],{t,1,20}]
Print[m];
{Sum[p[[t]],{t,1,20}]/20,1000-Sum[p[[t]],{t1,20}]/20}
参考文献
[1] 徐钟济．蒙特卡罗方法[M]．上海：上海科学技术出版社，1985：171-188.
[2] 茆诗松，王静龙，濮晓龙．高等数理统计[M].北京：高等教育出版社，2006：415－454．
[3] 周铁，徐树方，张平文等．计算方法[M]．吉林：清华大学出版社，2006：299－353．
[4] 李尚志，陈发来，张韵华等．数学实验[M]．北京：高等教育出版社，2004：23－30．
[5] 王岩．Monte Carlo方法应用研究[J].云南大学学报(自然科学版)，2006，28(S1): 23－26.
[6] 薛毅，陈立萍.统计建模与R软件[M].北京：清华大学出版社，2008：476-485.
[7] 杨自强.你也需要蒙特卡罗方法———提高应用水平的若干技巧[J]. 数理统计与管理, 2007,27(2):355-376.
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