这里 表示由不等式 和 决定的 维多面体.则 重积分的Monte Carlo近似计算公式为：
 = （9）
例2 在三维空间中，由三个圆柱面： ， ， 围成一个立体，利用Monte Carlo方法求它的体积.
分析：据题意，所求体积  ,其中
  {  ， ， 且 ， ， }.
记 ，，},考虑在空间 内随机的产生 个点，落在空间内有 个，则 .在Mathematica中模拟程序见附录2.
5 在古典概率问题中的应用
下面的例子说明了Monte Carlo方法在古典概率中的应用.
例3 甲乙两位棋手棋艺相当，现他们在一项奖金为1000元的比赛中相遇，比赛为五局三胜制，已经进行了三局的比赛，结果为甲三胜一负，现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？
分析：平均分对甲欠公平，全归甲则对乙欠公平.合理的分法是按一定的比例分配.
现在我们用计算机模拟两位棋手后面的比赛，是否就可以知道奖金分配方案.由于两位棋手的棋艺相当，可以假定他们在以下每局的比赛胜负的机会各半.Mathematica中函数产生随机数0或1，0与1出现的机会各占一半，可以用随机数1表示甲棋手胜，而随机数0表示乙胜.（也可以用 中的随机实数来模拟两人的胜负，随机数大于0.5表示甲胜，否则乙胜）连续模拟1000次（或更多次数）每次模拟到甲乙两方乙有一方胜了三局为止.按所说方案分配奖金，1000次模拟结束后，计算两棋手每次的平均奖金，就是该棋手应得的奖金.
模拟结果：甲：750，乙：250（程序见附录1）
最终以甲分到 ；乙分到 .即甲750元，乙250元.
实际上，因为比赛只需进行两局.则可分出胜负.结果无非是以下四种情况之一：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.上面四种情况可看出，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.在Mathematica中模拟程序见附录3.
6 误差分析
6.1 收敛性
蒙特卡罗方法是由随机变量 的简单子样 的算术平均值： 作为所求解的近似值.由大数定律可知，如独立同分布，且具有有限期望值（ < ∞），则 .即随机变量的简单子样的算术平均值 ，当子样数Ｎ充分大时，以概率1收敛于它的期望值.
6.2 误差
蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论的中心极限定理给出了答案.该定理指出，如果随机变量序列 ， ，…， 独立同分布，且具有有限非零的方差 ，即
 是的分布密度函数.则
当N充分大时，有如下的近似式
其中 称为置信度，1－称为置信水平.这表明，不等式 近似地以概率1－成立，且误差收敛速度的阶为 .
通常，Monte Carlo方法的误差ε定义为
 
上式中 与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出 .
关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的.第二，误差中的均方差 是未知的，必须使用其估计值 来代替，在计算所求量的同时，可计算出 .
例4 求用平均值法估计圆周率 ，并考虑置信度为5%，精度要求为0.01的情况下所需的试验次数.
解：易知 ，故考虑令～ ，令 ，其期望值为 ，因此 = ，其中 是[0，1]区间上均匀分布的随机数.
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