论文导读：关于极限。关于微分。在微积分学习过程中。关于分段函数。微分，“模式方法”在微积分学习中的应用。
关键词：模式方法，极限，微分，积分，分段函数
每年在教学过程中都会遇到许多同学学习微积分感觉困难的问题，其中一个主要原因就是同学们没有顺利完成从初等数学到高等数学的相应转变，而这里面学习方法的转变又是一个关键。对于初次接触大学数学--微积分的大一新生而言，在微积分学习过程中，掌握相关的几个重要“模式”就显得尤其重要了。下面就在一元函数微积分学习过程中所遇到的几种“模式方法”进行探讨。
一、关于极限
众所周知，函数是微积分的研究对象，极限是微积分的研究工具，它贯穿微积分的始终，掌握好函数的极限这一工具，对微积分的学习有着举足轻重的意义。
1．有理函数极限模式
当自变量 时，比如对有理函数极限 （其中分子 和分母 均为多项式）而言，该“模式”的特点为：若分母的极限 ， 则 ；若分母的极限 ，而 ，则 ；若 ，则分子分母定可找到相同公因式 ，约分化简后再按上述两步继续讨论。即，
 
另外当自变量 时，极限取决于分子分母的最高次项的次数，当次数相等时，极限 为分子分母最高次项的系数比；当分母的次数高于分子的次数时，极限 ；当分母的次数低于分子的次数时，极限。论文参考，微分。
2、两个重要极限模式；
第一重要极限模式有两个显著特点：作为分子的正弦函数 所包含的表达式要和分母的表达式完全一样；该一样的表达式为在某一变化过程中的无穷小量；结论：该极限为1，即 。论文参考，微分。此处需要注意的是，不论自变量是在在何种变化过程下，只需保证表达式 即可。论文参考，微分。
第二重要极限亦具有两个类似的特点：底数一定要是1加上某个表达式，而指数是底数所加表达式的倒数；指数部分的表达式要为无穷大。结论：该极限值等于 。即 。对第二重要极限需要注意的是，在幂指函数的极限中，若底数可分离出1加某个表达式，且该表达式为无穷小，则其一般可以凑出第二个重要极限的模式。
3、无穷小等价替换模式
等价无穷小是一个非常有用的知识点，既然等价，我们就可以替换，从而就有了“无穷小等价替换模式”。该模式一般应用于分时极限，是仅在乘除法时使用，即若 ，（其中 ）。
二、关于微分
微分是微积分这门课程的重要构成部分，微分最核心的部分可用微分模式来概括，即函数的微分等于该函数的导数乘以自变量的微分。比如，函数 的微分 。这里需要强调的是微分一定等于导数乘以自变量的微分，而自变量的微分 一般是初学微积分者易于忽略掉的地方
另外，即便是复合函数的微分也遵循这一模式：例如，复合函数 的微分
三、关于积分
积分这部分有两个模式是非常重要的
1、奇零偶倍模式，完整的描述为奇函数在对称区间的积分为零，偶函数在对称区间的积分等于2倍的 的积分。即
 
该模式对于计算对称区间上的定积分非常有用，可以节省诸多时间。
例： ，其实该积分是不需要利用区间可加性去讨论去掉积分符号的。
2.积分上限函数模式（变上限定积分模式）
这里其实是只讨论积分上限函数的导数的求法，该模式的内容为积分上限函数的导数等于把积分上限带入被积函数后再乘以积分上限的导数。
例：
四、关于分段函数
微积分还有一个能够令初学者非常困惑挠头的地方，那就是讨论分段函数在分段点的极限、连续性、可导性的问题，此处由于都与分段函数有关，从而可归纳为“分段函数模式”。
“分段函数模式”的特点：一定要利用相应的定义（或相应的充要条件）去研究函数在其分段点处的极限、连续性与可导性。论文参考，微分。
分段函数在分段点处的极限 左、右极限存在且相等；
分段函数在分段点处连续左、右连续；
分段函数在分段点处可导左、右导数存在且相等。论文参考，微分。
其中，左右极限，左右连续，左右导数一定要用相应的定义去求解或判断。论文参考，微分。
例：讨论函数 在 处的的连续性。
解：错误解法， ，所以函数在处连续。错在忽略 函数 在处左右两侧的表达式不一样这个问题。而利用“分段函数模式”解法： ，右连续；
 ，不左连续，从而函数在处不连续。
例：讨论函数 在处的导数。
解：  从而 。
这种方法显然是错误的，而一旦我们应用“分段函数模式”，这种错误就可以避免。
 ，
 。
显然在处不可导。
参考文献
[1]同济大学数学系，高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2007。
[2]赵树嫄，微积分[M]，北京：中国人民大学出版社，2007。
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