论文导读：本文利用数值积分方法，求出了任意摆角下的单摆运动周期的两个近似公式.并用MATLAB软件将它们与精确解进行了比较， 结果表明：用梯形公式得出的近似程度不太好，但计算公式简单；用辛普森公式得出的近似程度很好.
关键词：单摆，数值积分，梯形公式，辛普森公式，MATLAB
单摆问题是一个古老的问题，在现实中应用很广，例如摆钟就是应用单摆的原理制造的. 在无阻尼的情况下，单摆动力学方程是：
 (1)
其中 是单摆的质量，![]() 是单摆的摆长， 的初始角为 (见图1).
图1
在单摆的摆角很小的情况小，我们用公式：
 (2)
作为单摆的震动周期的近似计算公式.但是当单摆的摆角较大(一般认为大于 )时，公式(2)就不适用了. 此时单摆的振动周期需用公式(1)的精确解[1]：
 (3)
来计算.但是公式(3)涉及到椭圆积分，这个积分利用莱布尼茨公式是很难计算出来的， 这时我们可以借助数值积分方法来计算单摆的振动周期.我们利用了数值积分中的梯形公式和辛普森公式得到了两个计算单摆的震动周期近似公式.
1 近似公式的导出
数值积分中的梯形公式和辛普森公式[2]分别为:
 ，(3)
 ，(4)
其中 为积分上限，![]() 为积分下线， 为被积分函数.
对公式(3)用梯形公式得到计算单摆的震动周期的近似公式：
 .(5)
对公式(3)用辛普森公式得到计算单摆的震动周期的近似公式：
 .(6)
2 近似公式的精确程度分析
数值积分中的梯形公式和辛普森公式的误差[2]分别为:
 ，
 .
从误差公式可以看出辛普森公式得到计算单摆的震动周期的近似公式比梯形公式要精确.
为了考察公式(5)和公式(6)的精确程度，我们用数值积分公式中自适应辛普森公式[2]近似的取代精确解，计算精度取到 . 下面我们利用MATLAB软件，在区间 每隔 取值，计算出 的90个点的值，然后画出以横坐标，以纵坐标的曲线图.
图2个给出了公式(5)和公式(6)与精确解的比较情况. 图中实线为精确解，‘*’为公式(5)，‘+’为公式(6). 由图可以看出，公式(5)的精确程度没有公式(6)好，公式(6)基本与精确解重合，精确程度很好.
 
图 2
参考文献
[1]MarionJB.ClassicalDymamics[M].NewYork：AcademicPress，1965：181
-182.
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