| f(X1 、X2 、X3)=A,
之下时，g(X1 、X2 、X3)有一最大值，设为
g(X1 、X2 、X3)=B（B依赖于A）
而且当A增大时，对应的B也增大，那么，当X1 、X2 、X3在条件
g(X1 、X2 、X3)=B,
之下时，f(X1 、X2 、X3)就有一最小值
f(x 、x 、x )=A.
定理5 设f(X1 、X2 、X3 ……Xn), g(X1 、X2 、X3 ……Xn)是正变数X1 、X2 、X3 ……Xn的二个函数，A是一个给定的数，若当X1 、X2 、X3 ……Xn在条件
f(X1 、X2 、X3 ……Xn)=A, (4)
之下时，g(X1 、X2 、X3 ……Xn)有一最大值，设为
g(X1 、X2 、X3 ……Xn)=B（B依赖于A）,
而且当A增大时，对应的B也增大，那么，当X1 、X2 、X3 ……Xn在条件
g(X1 、X2 、X3 ……Xn)=B, (5)
之下时，f(X1 、X2 、X3 ……Xn)就有一最小值
f(x、x、x……xn)=A.
证明 设变数X1 、X2 、X3 ……Xn满足条件（5），那么在函数f(X1 、X2 、X3 ……Xn)所取的一切值中必有值A，但是f(X1 、X2 、X3 ……Xn)必不能取到小于A的值.
若假设A 小于A那么X1 、X2 、X3 ……Xn在条件
f(X1 、X2 、X3 ……Xn)= A, (6)
之下时，函数g(X1 、X2 、X3 ……Xn)对应的最大值设为B,
则B必小于B
因此，满足条件（6）的X1 、X2 、X3 ……Xn的值必不满足（5）.
所以在条件（5）之下，f(X1 、X2 、X3 ……Xn)必不能取到小于A的值，只能取到A，故在条件（5）之下，函数f(X1 、X2 、X3 ……Xn)的最小值是A.
定理证毕.
4 线性极值定理的应用
例1 设
A1 X1+A2 X2 +A3 X3+……+AnXn=B，
其中系数A1 、A2、 A3 …… An以及B都是给定的正常数，试求积X1AX2 AX3A……XnA 的最大值?
解 由定理2知，积X1AX2 AX3A……XnA,当 = = =……= 时
即：当X1 =X2 =X3 =……=Xn时极大，由此得：
X1 = ，X2 = ，…… , Xn =,
而积X1AX2 AX3A……XnA的最大值是（ ） .
例2 设
X1AX2 AX3A……XnA=B，
其中其中系数A1 、A2、 A3 …… An以及B都是给定的正常数，试求A1 X1+A2 X2 +A3 X3+……+AnXn的最小值?
解 由定理4知，和A1 X1+A2 X2 +A3 X3+……+AnXn ,当===……=时，即：当X1 =X2 =X3 =……=Xn时极小，由此得：
X1=log ，X2=log ，…… , Xn=log ,
而和A1 X1+A2 X2 +A3 X3+……+AnXn的最小值为log .
例3 在同面积的所有长方形中，求容积是最大的一个？反过来在同容积的所有长方形中，求面积是最小的一个?
解 设2S是所考虑的所有长方形的共同面积，x、y、z是其中任一个的长、宽、高，那么有：
2S=2xy+2xz+2yz,
即：
xy+xz+yz= S,
设V是长方形的容积，那么有V=xyz，则：
V =x2y2z2=xy yz zx≤（ ） ,
当且仅当xy=yz=zx= 时等号成立，此时V为最大，即：
V = ,
这时x=y=z= ，故
V = ，此时x=y=z=,
反过来，体积V=xyz为定值.面积
2S=2（xy+xz+yz）≥2 3 =6 =6 ,
当且仅当x=y=z= 时等号成立.
因此面积最小的一个面积为6，此时x=y=z=.
参考文献
[1]范会国.几种类型的极值问题[M].北京：科学出版社，2002.
[2]王安民.线性极值题解[M].西安：陕西人民出版社，2001.
[3]李永乐.线性代数辅导讲义[M].北京：新华出版社，2007.
[4]许芬英.高中数学奥林匹克竞赛教程[M].杭州：浙江教育出版社，2004.
[5]虞金龙.高中数学竞赛2000题[M].杭州：浙江大学出版社，2006.
[6]张慧欣.最新高中数学竞赛试题分类精编[M].北京：开明出版社，2000.
[7]黄玉民.世界数学奥林匹克解题大辞典[M].石家庄：河北少儿出版社，2003.
[8]王生.华罗庚数学奥林匹克竞赛集训教材(高中)[M].北京：知识出版社，2003.
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