一类线性极值定理的推广及应用

是极大，从而P也在此时达到极大.

定理证毕.

2 任意多项和的线性极小问题的推广

2．1 几个引理

引理5[1] 如果n个正变数X1 、X2 、X3 ……Xn的积是定值,那么他们的和，当这些数相等时是极大.

引理6[1] 如果n个正变数X1 、X2 、X3 ……Xn的积是定值k，那么和A1 X1+ A2 X2 +A3 X3+……+AnXn，当A1 X1=A2 X2 =A3 X3=……=AnXn时是极小，其中系数A1 、A2、 A3 …… An以及k都是给定的正常数.

引理7[1] 如果积X1x X2 xX3x是定值，其中X1 、X2 、X3是正变数，而指数x、x、x是给定的正有理数，那么和X1 +X2 +X3，当变数X1 、X2 、X3同指数x、x、x成比例时是极小.

引理8[1] 设积X1x X2 xX3x是定值k，其中X1 、X2 、X3是正变数，而指数x、x、x是给定的正有理数，那么和A1X1+A2 X2 +A3 X3 ,当==时是极小，其中A1 、A2、 A3 都是正数.

2.2 主要推广结果

定理3 如果积X1x X2 xX3x……Xnx是定值，其中X1 、X2 、X3 ……Xn是正变数，而指数x、x、x……xn是给定的正有理数，那么和X1 +X2 +X3 +……+Xn ，当变数X1 、X2 、X3 ……Xn同指数x、x、x……xn成比例时是极小.

证明 假设

S=X1 +X2 +X3 +……+Xn , (3)

X1x X2 xX3x……Xnx=k,

其中k是给定的正数.

因为x、x、x……xn可能是正整数也可能是正分数，但考虑正整数亦可表示成正分数的情形，因此把x、x、x……xn变成有最小公分母D的分数：

x=, x=, x=, …… , xn=,

于是（3）变为：

S=+++……+,

即：

S=x+ x+ x+……x,

即：

S=+++……+,

于是和S成为x+ x+ x+……x项的和，这些项的积

+++……+

= ()()()……(),

是定值，等于,

因此，由引理事知，和S 当===……=时，

即：===……=时是极小.

定理证毕.

定理4 设积X1x X2 xX3x……Xnx,是定值k，即：

X1x X2 xX3x……Xnx=k，

其中X1 、X2 、X3 ……Xn是正变数，而指数x、x、x……xn是给定的有理数，那么和

A1 X1+A2 X2 +A3 X3+ ……+An Xn ,当===……=时极小，

其中A1 、A2、 A3 、…… An都是正常数.

证明 事实上，设x= ， x= ， x= ，……，x= ,

那么积X X X…… X是定值：

X X X…… X＝（）k,

因而由定理3知，和X+X+ X+……X, 当===……=时极小.

定理证毕.

3 线性极大极小问题的互逆性的推广

引理9[1] 设f(X1 、X2 、X3), g(X1 、X2 、X3)是正变数X1 、X2 、X3的二个函数，A是一个给定的数，若当X1 、X2 、X3在条件

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