浅谈数学教学中的逆向思维训练-论文网

论文摘要：浅谈数学教学中的逆向思维训练-论文网
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培养学生的思维能力历来是数学教学的核心，正向思维和逆向思维是思维的两种基本形式，而逆向思维训练对培养学生思维的灵活性、敏捷性和深刻性具有举足轻重的作用.在教学中一般注重对学生的正向思维训练，而逆向思维训练往往重视不够，长此以往学生的思维水平难以提高，尤其是对于那些数学功底较弱的学生，很容易造成思维上的恶性循环.笔者结合平时的教学谈谈自己粗浅的体会.

一.定义教学中逆向思维的训练

教科书中，作为定义的数学命题，其逆命题往往是成立的。因此，学习一个新概念，如果能从逆向切入，学生不仅能对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且还能培养学生双向考虑问题的良好习惯.如在向量教学中，关于向量垂直定义为:

非零向量a、b，若a⊥b,则a·b=0.

反过来，对非零向量如果a·b=0，是否有a⊥b？

又如，逆用方程根的定义解下列两题，比用一般方法要简捷.

例1（1）解方程（7-4）x-7x+4=0

因为7-4-7+4=0,所以1是此方程的一个根,设另一根为x2，则

1·x2=，故x2=48+28

（2）已知a、b为不相等的实数，且a=7-3a,b=7-3b,求

+的值.

显然，a、b是方程x=7-3x的两根，由根与系数的关系即可解之。

二．公式教学中逆向思维的训练

数学中的公式都是双向的，然而很多学生只会从左到右使用，对于逆用往往不习惯.在公式教学中，应注意强调公式的正用和逆用、聚合与展开.

例2求sin(-3x)cos(-3x)-cos(+3x)sin(+3x)的值

分析：该题基本符合sin(+)展开式结构，只是角度不符，但-3x与+3x、-3x与+3x恰是余角关系.

解原式=sin(-3x)cos(-3x)-sin(-3x)cos(-3x)

=sin(-)=.

例3已知,cos(-)=,sin(+)=-,求sin2的值.

分析：本题很自然地去逆向思考2的来源，结合已知的两种复合角-与+，不难看出已知角与解题目标角间的关系：

2=（+）+（-）

解：∵，∴0-,+

∴sin(-)==

cos(+)=-

sin2=sin〔(+)+(-)〕

=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=-

在公式的应用教学中，有意识地进行双向训练，可起到事半功倍之效.

3．运算法则在教学中逆向思维的训练

在运算法则教学中进行逆向思维训练，有利用学生对法则的掌握，在教学中要反复训练，如集合教学中：

如果A是B的子集,那么A∩B=A,A∪B=B，可列举一些逆向应用的例子.

例4若集合A={1,2,3,4},A∩B={1,2},B=?答案唯一吗？

A={1,2,3,4},A∪B={1,2,3,4,5},B=?答案唯一吗？

如此多角度、多向思考问题，对思维水平的提高很有益处.

4．解题教学中逆向思维的训练

解题能力是学生数学综合能力的体现，解题的首要环节是审题，只有审清了题设与题设、题设与结论间的内在联系，才能找到解题切入点，从而使解题顺畅。逆向思维在解题中具有举足轻重的作用，应予以重视。

例5已知抛物线y=mx-1上存在着以直线x+y=0为对称轴的两个点，求m的取值范围.

分析：为了求得m的取值范围，逆向思考条件中“两个对称点”与直线、与抛物线的内在关系，即

（1）关于直线x+y=0对称;

(2)均在抛物线y=mx-1上

（3）两点的存在性.

解：∵P,Q两点关于直线x+y=0对称，

可设P(x,y),Q(-y,-x),

又∵P,Q在抛物线上，则有

两式相减得：

（x+y）[m(x-y)-1]=0

又x+y0，∴m(x-y)-1=0,即yx-,代入（1）得：

mx-x+-1=0，

又P,Q是抛物线上的两个不同点，故该二次方程有异根，则△>0

解得m>.

评析：分析思路运用了“执果索因”即逆向思维方法，这种方法在数学解题中应用非常普遍，如平面几何和立体几何的证明题等等,教学中应予以重视.

5．定理教学中逆向思维的训练

不是所有定理都有逆定理，但好多定理的逆命题是成立的，甚至有些是教科书中明确的，如三垂线定理及逆定理，而有些定理的逆定理虽然教材中没有明述，但作为逆定理在应用，如二次方程的根与判别式的关系定理及韦达定理等，这些都是很好的教学例子，应在教学中有意识地加以利用.

总之，在数学教学中，强化逆向思维训练，并通过类比、引伸、拓展、举反例等多种形式，培养他们从事物不同方向和不同联系上去思考问题，使之形成习惯，对培养他们的学习兴趣，拓广思路，提高思维能力都有着十分重要的意义.