本文研究了一类四阶非线性Schrödinger方程初边值问题在任意维空间中的 有界性，其结果在研究整体解时是非常重要的。
论文关键词：四阶,非线性Schrödinger方程, ,有界性
我们考虑这样一类非线性Schrödinger方程的初边值问题
 ，  ， （1.1）
 ，  ， （1.2）
 ,  ， （1.3）
其中， 为复值函数， ＆，＆为速降函数空间， ， 充分光滑， 为实数。
方程(1.1)-(1.3)具有特定的物理背景，且在数学理论上是一类非线性发展方程，因此对方程(1.1)-(1.3)的研究具有实际意义和理论意义。
为了研究方程(1.1)-(1.3)整体解的存在唯一性，需要解在 空间中的有界性质作为前提。 时，文[1～5]研究了方程(1.1)-(1.3)整体解的存在唯一性及渐近性质，文[6～7]讨论了方程(1.1)-(1.3)解的有界性。 时，关于方程(1.1)-(1.3)解的有界性的研究，就作者所知还是较少的。本文就 时给定初值一定要求前提下，用文[7]的方法得到了方程(1.1)-(1.3)解的有界性。
记号：简记 ，一切常数除注明者外，均以 表示，且与 、 无关，且不同地方出现的 值可能不同，但为了方便，我们仍以 记之，其余记号都是标准的。
2 引理
因在奇维空间中的情形证明过程类似于偶维空间，我们不妨先讨论偶维情况。
引理1 对任意复值函数 ， ，如果
 （2.1）
那么有
 。 （2.2）
引理2 设 为正的可积函数， 为有界区域，则存在只与 有关的常数 ，使得
 （2.3）
成立，其中 。
引理3[7] 设 ，如果
 （2.4）
那么有
 （2.5）
证明 根据复合函数求导法则，知
 （2.6）
其中
可算出
在 中每一项对 求导的阶数与求导因子次数之和等于 ，并且各导数因子的次数最大为 ，我们将 展开，注意到，展开式中的各项具有下列乘积形式：
 （2.7）
其中， 分别取自 的表达式中的某一项，在中的因子的最大个数是1，2，…，r。整理（2.7）式，其形式是
 （2.8）
可以得知
即
令 ，考虑（2.8）式，则（2.6）式化为
由假设知， （ 为与 无关的常数），因此
则有
由赫尔特不等式，得
 （2.9）
由（2.4）式可知，（2.9）式的右端为与 无关的常数，因此有
根据引理2，有
因此，。
3 主要结论
定理 如果 有界，并且
  ；
那么，方程⑴的解 满足
 （3.1）
证明 对（1.1）式两端同时作用 ，设 ，有
 （3.2）
即
 （3.3）
对（3.3）式两端同时乘以 ，并且在 上对 积分，得
用分部积分法，得
 （3.4）
取（3.4）式共轭，得
 （3.5）
（3.4）式加上（3.5）式，可得
也即
 （3.6）
对于 ，记 ，则 ， ，
 （3.7）
类似地，对 ，有
 （3.8）
将（3.7）式，（3.8）式代入（3.6）式，得
在 上积分，得
 （3.9）
其中， 为常数。（3.9）式可写成
 （3.10）
从（3.10）式看出，右端 和 是类似的，只须证 有界。
由于
 （3.11）
只须证
中有界的，其中 是 上的实参数。
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