Lingo在飞行管理中的应用

论文导读：本文利用非线性规划给出航线调整的最优角度，并通过系统仿真检验结果可行性。在求解过程中由于飞行过程的时间连续性，我们预先使用MATLAB将飞行时间离散化，得到有效时间值并应用到最优化的模型求解中，运用Lingo软件编程求解得出相应飞机的最优调整角度。
关键词：非线性规划，时间离散化，系统仿真
 

1 问题提出

在约10000 米高空的某边长为160 公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：

1） 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；

2） 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；

3） 所有飞机飞行速度均为每小时800公里；

4） 进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60 公里以上；

5） 最多需考虑6架飞机；

6） 不必考虑飞机离开此区域后的状况；

请对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01 度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4 个顶点的坐标为：(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。

记录数据为：

飞机编号	横坐标	纵坐标	方向角（度）
1	150	140	243
2	85	85	236
3	150	155	220.5
4	145	50	159
5	130	150	230
新进入	0	0	52

注：方向角指飞行方向与X 轴正向的夹角。

2 模型准备

本文研究的飞机都是高空水平飞行，并且只考虑在一个的正方形区域内的情况。在该区域内已经有5架飞机，此时有第6架飞机欲进入，针对这个飞行管理问题，我们需要做以下四方面工作：

第一、建立平面直角坐标系

那么正方形区域4 个顶点的坐标为：（0，0），（160，0），（160，160），（0，160）。将飞机视为质点，飞行路线简化为直线，建立飞机位置和平面坐标的一一对应关系。

第二、判断新进入飞机是否符合进入该区域的条件

由两点间的距离公式

计算得到1～5架飞机和第6架飞机的距离见下表：

从上表可以看出，第6架飞机与任意一架飞机都超过60公里，所以该飞机可以进入正方形区域。

第三、分析避免引起碰撞的各种约束

无碰撞约束是针对调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角之后的情况：

(1) 方向角调整的幅度不应超过30度；

(2)正方形区域的对角线长度为，飞机速度为，因此一架飞机在该区域的最大飞行时间是小时，约为17分钟；

(3) 飞行时，各飞机的坐标不断变化，任意时刻两架飞机的距离大于8公里。

第四、方向角转化

因为方向角指飞行方向与X 轴正向的夹角，所以调整方向为逆时针时，调整角度为正；调整方向为顺时针时，调整角度为负。在解答过程中，对所有角度都采用弧度描述，所以首先将6架飞机的初始方向角进行转化，结果如下：

3 模型的建立及求解

3.1约束层

1）方向角调整的幅度不应超过30度：

2）该区域内一架飞机的最大可能飞行时间：

3）对飞机飞行时刻的描述:飞行时间是连续的，但这求解时会产生无穷多的变量，因此我们把时间离散化，将最大可能飞行时间分为段，第个时刻表示为

4）飞行中任意两架飞机的距离不超过8公里

第架飞机的初始坐标为，飞机在不同时刻的对应不同的坐标，（单位：分钟）时刻坐标是；各架飞机的初始方向角是，调整后的方向角是。初始位置和时刻位置的距离是

据坐标变换公式，将时刻坐标以初始坐标表示为：

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