 (9)
定义了各结点的插值函数后，点 的位移函数类似于有限元法可写为
 (10)
式中， 是点周围自然邻结点 的结点位移， 为对应结点的形函数.
2.2 控制方程的弱形式及其离散化
平衡方程式(1)及力的边界条件式(2b)的等效积分形式的伽辽金提法可以表示为
 (11)
对式(11)进行分部积分，则有
 (12)
为便于进行数值计算，我们把上式改写成矩阵形式，有
 (13)
式中
 (14)
由于只对空间域进行离散，求解域 内的试函数 可由式(10)表示为
 (15)
将空间离散后的位移表达式(15)代入式(14)，并注意到结点位移变化 的任意性，最终得到系统的运动方程如下：
 (16)
式中， 为结点的加速度向量； ， 和 分别为质量矩阵、结点内力向量和结点外力向量，且它们各元素可具体表示为：
 (17a)
 (17b)
 (17c)
其中
 ,  (18)
3 时间积分方案
本文对时间域的离散采用应用较为广泛的Newmark方法[2].Newmark 方法是一种隐式算法，因此时刻 的运动方程应得到满足.此外，由于塑性变形的非线性特性，在每个时间步都必须进行迭代计算.应用Newton-Raphson迭代，时刻的运动方程可以改写为
 (19a)
 (19b)
式中，切线刚度矩阵 可以表示为
 (20)
在 和时间步内，Newmark方法采用的位移和速度的递归关系为
 (21a)
 (21b)
其中 和 是按积分精度和稳定性要求决定的参数. 由式(19b)和式(21b)可得
 (22)
将式(22)代人式(19a),则得到如下的静力等效问题
 (23)
式中
 (24a)
 (24b)
顺便指出，给定初始的位移 和初始速度 后，我们就可以从下式求出初始加速度 ：
 (25)
下面给出时刻静力等效问题(23)的具体迭代求解过程：
(1)令迭代计算变量 .
(2)在开始预估阶段，令
 (26a)
 (26b)
 (26c)
式中
 (27)
(3)利用下述方程计算残余力
 (28)
(4)如有需要，应用下式形成等效刚度矩阵
 (29)
否则，就应用前面已计算出的 .
(5)求解方程
(30)
得到结点位移增量 ,然后利用几何关系可计算得到应变增量 .在此基础上，利用第1节中所述的弹塑性本构关系以及切向预测径向返回方法[24]就可以确定应力 .
(6)进入修正阶段无网格法，令
(31a)
 (31b)
 (31c)
(7)如果不满足收敛条件，令 并转到第3步，否则继续进行下去.
(8)为下一个时间步使用，令
 (32a)
 (32b)
 (32c)
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