论文摘要：运用物理学的方法和微积分的知识来建立数学模型，借促MATLAB软件，得到结果：在第60秒引擎刚关闭时，火箭的高度为9317.8米，速度为274m/s，加速度为132.7931m/s ；火箭达到最高点的时间为70.2s，高度为14604m.k的值估计为0.4904.
论文关键词：火箭升空,牛顿第二定律,软件
一、问题重述
火箭的质量为300千克(kg)，携带900千克燃料并以15kg/s速率燃烧而产生恒定40000牛顿推力.同时受与速度的平方成正比，比例系数为k的空气阻力，在t时间时高度x(t)，速度为v(t)，取重力加速度g为9.8m/s.
二、问题假设
1.空气的阻力f与速度平方v成正比，比例系数为k；
2.燃料以15千克/秒的速率燃烧，并产生40000牛顿的恒定推力；
3.重力加速度g为9.8m/s；
4.火箭本身的质量为m，剩下燃料的质量为m；
5.火箭运行的高度x(米)与时间t(秒)和速度v(米/秒)对应的关系，x(t)为火箭在时t的高度测有一组数据如下:
三、模型求解
1.建立模型
由物理学可知，在t时刻，火箭和燃料的质量为1200-15t；重力产生的阻力为(1200-15t)×9.8；空气阻力为kv；那么，由牛顿第二定律可得
 ；0
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t
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10
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11
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12
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13
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14
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15
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16
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17
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18
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19
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20
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x
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1070
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1270
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1480
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1700
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1910
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2140
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2360
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2600
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2830
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3070
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3310
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v
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190
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200
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210
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216
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225
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228
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231
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234
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239
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240
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246
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＊科研项目：安康学院大学生科技创新项目（2009AKXYDXS06）.
 t>60
由 ，可得到 ；0 (1)
 t>60（2）
 （3）
2.模型求解
当0时，令a=dv/dt.由t和v的对应关系在matlab中编程以及给出的公式
t=10:20；
v=[195228231234239240246]；
fori=3:10
a(i)=(1/12)*(v(i-2)-8*v(i-1)+8*v(i+1)-v(i+2))；
end
a=[10107.75007.6676.252.52.8334.33332.753.58.5]
将a的值代入（3）中，在matlab中可求得k=0.4904.
在(1)式中，由 ，得
 （4）
求解过程，编写m文件如下:
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functionxdot=wf(t，x)
xdot=zeros(2，1)
xdot(1)=x(2)
xdot(2)=[28240+147*t-0.4904*x(2).^2]/(1200-15*t)
在命令窗口中执行:
xspan=0:1:60；x0=[00]'；
[t，x]=ode45('wf'，xspan，x0)；
plot(t，x)
结果为:
ans=1.0e+004*
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Columns1through10
………………
Column61
1.3807
0.0274
故在t=60s时，x(t)=1.3807*10，v(t)=0.0274*10m/s.
此时关闭引擎，t=60s，火箭推力为0时只受空气阻力与自身重力作用m=300kg，所以
加速度 .
火箭关闭引擎后（t>60）
 ，转化为
设 ，得微分方程组
 ， （5）
求解过程，编写m文件如下:
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functionact=wf(t，y)
act=zeros(2，1)；
act(1)=y(2)；
act(2)=-[0.4904*y(2).^2/300+9.8]
在命令窗口中执行:
vspan=60:0.2:74；
[t，y]=act(‘wf’，vspan，[13807274])；
输出的结果:
ans=1.0e+004*
---------------------------------------------------------------------------------------Columns1through10
………………
1.4604
0.0000
由输出的结果可知道:当t=70.2时，y(1)=14604，y(2)=0，即此时的速度v=0m/s；而且此时火箭达到最大高度.
所以火箭升到最大高度所花的总时间T=70.2s.关闭引擎后，火箭上升到最大高度H=14604m.至此，问题得到解决.
参考文献
1 阳明盛、熊西文,MATLAB基础及数学软件.大连:大连理工大学出版社,2003.8.
2 夏玮、李朝晖,控制系统仿真与实例详解.北京:人民邮电出版社,2008.10.
3 胡祥青,大学物理.北京:北京师范大学出版社,2005.5. |
