论文摘要：镜象法是电动力学中用于求解点电荷边值问题的有效方法，其实质是用镜象电荷来替换导体表面的感应电荷；根据其理论依据——唯一性定理，一些满足泊松方程的物理量也有可能用镜象法求解。本文以镜象法求解静电问题的基本思想、方法为基础，把镜象法推广应用到热传导问题，下面将通过例子加以说明，并对求解结果进行了讨论。
论文关键词：镜象法,泊松方程,唯一性定理,热传导
引言
镜象法是电动力学中用于求解点电荷边值问题的有效方法，其解题思想是，在求解区域以外设一个或多个象电荷，用以代替导体或介质边界上的感应或极化电荷，并把它放在适当的位置，以满足定解条件。这样，求解区域内的电场便由点电荷和象电荷共同产生。
镜象法是从静电学中发展起来的一种方法，它也可以用来求解静磁学问题。一些教材和刊物都论述了其在恒定磁场中的应用，如文献讨论了用镜象法计算无限大导体平面附近的载流长直导线产生的磁场等。然而，镜象法的应用范围仍局限于求解电动力学问题。对于其它物理问题，至今尚未见过用镜象法求解的例子。其实，依照镜象法的理论依据—唯一性定理，从数学物理的角度，一些满足泊松方程的物理量，假设给出了区域边界上的边值关系，也有可能用镜象法求解，从而使问题简化。本文探讨怎样用镜象法巧妙地求解热传导问题，并对求解结果进行分析。
2．热传导基本方程解的推导
物体各部分之间依靠微观粒子的热运动而产生的热量传递的现象叫热传导。
对于均匀连续、各向同性的静止固体，有内热源的稳态导热微分方程为
 （1）
式中， 为内热源，即单位时间内从单位体积热源中散发的热量，单位为W/m；λ为导热系数，单位为w/mk。
在静电场中，我们知道静电势 在真空中满足的基本微分方程即泊松方程
 （2）
如果把电荷抽象成点电荷，得到一个处于原点的点电荷Q所激发的电势 满足的泊松方程为
 （3）
比较（1）和（2）两个方程，温度t与电势 相对应，内热源 与电荷密度ρ相对应，系数λ与 相对应。
如果把内热源抽象成点热源，设单位时间内散发的热量为Q，则一个处于原点的点热源Q所产生的温度 满足的泊松方程为
 （4）
根据（3）式的解，即场点 处的电势为
 （5）
通过系数代换，我们提出方程（4）的解为
 （6）
从数学方法，不难验证（6）式是方程（4）的解。
从物理意义看，对于温度分布 ，r越大，t就越小。当r→∞时，t→0。因此可以选取无限远处为温度零点，但这只是点热源温度零点的选法。对于无限大的热源，温度零点只能选在有限远处。虽然这样选零点温度，可能使温度分布跟零点选取有关，但是，温度零点的选取不影响热流强度的分布和计算，并且在很多情况下温差更具有实际意义，这也跟温度零点的选取无关。在下面的例题中，我们将会看到温度零点的选取不会影响计算结果。
 在无界空间中，点热源的热流强度从热源均匀地沿径向分布，热流强度线从热源出发，指向无穷远处；与点热源距离相等的点温度相同，因此，等温面是以点热源为中心的一系列同心球面；越向外，温度越低。热流强度线和等温面的平面图如图1所示。
3．镜象法在热传导中的应用
在静电场中，如果给出均匀分区的区域V内自由电荷的分布 ，和边界条件 或 ，那么V内的电场就唯一地确定。
通过静电场与热流强度场各个参数的比较，从数学物理的角度看，热传导同样也具有相应的唯一性定理，即给出均匀分区的区域V内的热源分布 ，在边界S上给定温度 或温度的法向导数 ，则V内的温度就唯一地确定。
根据唯一性定理，现在我们尝试用镜象法来求解以下热传导的问题。
例：距表面温度为t的无限大平面导体板附近为a处有一点热源Q，导热体内均匀导热，使导热系数λ为常数，求空间的温度分布。
分析：点热源在无限空间中其热流强度均匀地沿径向分布，但由于导体板的存在，热流强度偏向导体板分布。点热源不断地向四周和导体板释放热量，导体板要保持表面温度不变，就要不断地吸收热量，此时导体板可看作负热源，并且负热源的分布不均匀。空间任一点的温度是由给定热源Q与导体面的负热源共同作用决定的。
设想在导体板下方与点热源Q对称的位置放一个象热源Q’，且Q’=-Q，然后把导体板抽出，则Q’与Q激发的总热流强度线如图2所示，由对称性可看出，在原导体板平面上，热流强度线处处与它正交，使Q和Q’在导体板平面上的温度叠加为零。因此，导体板这个负热源的影响就可用板下方的象热源来代替。Q’称为Q的镜象热源。此时导体板上部空间的温度分布可看作原热源Q与镜象热源Q’＝-Q，和导体板本身的温度t共同作用的结果。
 建立如图2的坐标系，设所求的温度分布为T，以导体板的温度t为温度零点，并令T=t+t，则t满足的定解问题为
 （7）
t|=0
以r，r’分别表示Q，Q’到场点P的距离，已知点热源空间的温度分布为 ，则
 （8）
得 （9）
同理，也可以推导线热源的镜象问题。
4.总结与展望
本文在静电场的基础上，应用了镜象法求解热传导问题，其解题思想是“等效代替”，即在求解区域以外设一个象热源或象扩散源，用以代替导体或介质分界面上的负源，使原、象热源或原、象扩散源所激发的总温度或总分子数密度满足泊松方程和边值关系，这样使得求解区域内温度或分子数密度简化成由原、象热源或原、象扩散源共同作用产生。 1/2 1 2 下一页 尾页 |
