顶部边界 处的边界条件为
 (7a)
其中， 为周期外力和温度的无量纲量。而 ， 为物体和空气的对流换热系数。当 时为绝热边界条件， 时为等温边界条件。
底部边界 处的边界条件为
 (7b)
侧向周期边界 处，应该满足如下周期性条件：(1)介质的位移相等；(2) 介质的法向和切向应力相等；(3)孔隙百分比相等；(4)温度相等；(5)外法线方向孔隙百分比发展相等；(6)外法线方向温度导数相等。并有如下表达式：
 (7c)
其中， 和 分别是边界 和 上的法向应力和切向应力， 和 分别是和的单位外法线矢量。
1.3 初始条件
对于未变形的孔隙热弹性介质，当 时，有初始条件
 (8)
这样，公式(5)-(8)构成了在移动周期性载荷作用下，孔隙热弹性地基动力响应问题的基本场方程。我们将采用微分求积法(DQM)和有限差分法(FDM)在空间域和时间域内来离散控制方程并求解，由此研究在移动周期载荷作用下孔隙热弹性地基的动力学特性。
2控制方程的离散化与求解
2.1 控制方程的DQ离散化
微分求积法(DQM)是将函数对某方向的自变量的偏导数近似表达为其各离散点(节点)上相应函数值的加权和，其加权系数取决于节点分布并与具体问题无关。因此，利用这些系数，任何微分方程都能转化为相应的代数方程。关于DQM可参考文献[13]和其他近期的相关文献[14]。根据文献[13]，可得控制方程(5)在空间域内的DQ离散化形式
 (9)
其中， 表示对X的m阶偏导数的权系数， 表示对Z的n阶偏导数的权系数。这里，采用多项式作为试函数来构造权系数，并利用Chebyshev-Lobatto多项式的零点的来布置节点的坐标[13]。
2.2边界条件的DQ离散化
同样根据[13]，也可得到边界条件的DQ离散化方程。
顶部处边界条件的DQ离散化形式为
 (10a)
底部处边界条件的DQ离散化形式为
 (10b)
周期性边界和处周期性边界条件的DQ离散化形式为
 (10c)
初始条件的DQ离散化形式为
 (10d)
方程(9)-(10)，组成了周期域 内平面孔隙热弹性动力学特性分析的初边值问题的空间DQ离散化方程组。
2.3 时间导数的离散
能够看到，空间域内的DQ离散化控制方程(9)-(10)是关于时间的微分-代数方程组，求解一般比较困难。为了方便，将其写成矩阵形式
 (11)
其中， 为未知量组成的矢量，即它是所有要求的未知量 在离散点 处的值构成的矢量发表论文。 和 是所有未知函数对时间 的导数项的系数构成的矩阵，它们是奇异的， 是由相关未知量空间离散所得代数函数组成的矢量。采用一阶和二阶向后差分格式来逼近时间导数，即
 (12)
其中物理论文， 为当前时刻的无量纲量。利用公式(12)，原系统(9)-(10)可以被转化为一组代数方程
 (13)
当给定初值时，利用通常的迭代方法可求得当前时刻为止的位移矢量 。计算中，取真实时间步长 ， 为微小的真实时间 的无量纲量。
3 孔隙热弹性地基的动力学响应
3.1 在移动周期谐载荷作用下的动力学响应
在图1所示的物理模型中，给定移动谐载荷为 ，其中， 是波数， 是波长； 是频率， 是周期。计算中，给定参数如下[12,15]：
对应的无量纲参数为
利用前述的离散化和求解方法，可得问题的数值解。图2和图3分别为顶端边界点 和中点 处的沉降、孔隙体积百分比和温度的时程曲线。计算中，采用三种布点方式，即 ， 和 ，而 分别为时间步长。由图看出，不同的时间步长和布点得到的时程曲线是一致的。说明本文方法具有良好的收敛性。
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