论文导读:：运用柔性多体系统刚柔耦合动力学理论，研究了作大范围回转运动柔性梁的碰撞动力学问题。考虑柔性梁的横向变形，以及横向变形引起的纵向缩短项即非线性耦合变形项。采用基于Hertz接触理论及非线性阻尼理论的非线性弹簧阻尼模型来求解碰撞过程中产生的碰撞力，运用第二类拉格朗日方程建立了系统的刚柔耦合碰撞动力学方程。编制仿真软件进行动力学仿真计算，得到了碰撞力和系统动力学响应，对比分析了不同动力学模型对系统动力学响应的影响。同时研究了碰撞导致的柔性梁横向变形传播的波动特性。
论文关键词：柔性梁，刚柔耦合，碰撞，弹簧阻尼模型，变形传播
1 引言
伴随着现代工程机构的复杂化、轻质化、高速化以及对精度要求的不断提高，越来越需要准确描述机构中作大范围运动柔性体的动力学特性。柔性多体系统动力学的刚柔耦合问题不但是航天、机器人、机械等工程领域中的关键技术难题，也是当今力学理论界普遍关注的学科热点课题。柔性多体系统动力学的发展大致经历了运动-弹性动力学方法（即KED法）、零次近似的刚柔耦合动力学方法、一次近似的刚柔耦合动力学方法等几个阶段，目前国摘要求。解决柔性多体系统碰撞动力学的关键在于建立系统准确的刚柔耦合动力学模型和对碰撞过程的正确处理，然后在此基础上找到合理稳定的求解方法。对碰撞过程的处理一般可分为基于经典刚体碰撞理论的离散法和基于接触理论的连续法两大类方法。
Yigit等[2-3]运用经典的动量平衡法和恢复系数方程，建立了作大范围回转运动柔性梁的离散法碰撞动力学模型，并发展了合适的数值算法，用实验和仿真结果进行了验证。同时，Yigit等[4]还使用可以描述碰撞过程的两种不同的弹簧-阻尼模型，建立同样系统的连续法碰撞动力学模型，其数值仿真结果与实验较为吻合。刘才山等[5]针对作大范围回转运动的柔性梁与一固定斜面发生斜碰撞的情况，首先建立起重力场作用下的柔性梁一致线性化刚柔耦合动力学方程，并基于接触理论和非线性阻尼项建立了法向碰撞接触模型，基于线性切向接触刚度建立了柔性梁切向碰撞接触模型。刘锦阳等[6]考虑几何非线性，基于非线性弹簧-阻尼模型，用虚功原理建立了柔性多体系统多点接触碰撞动力学方程，在此基础上设计多点接触碰撞实验，通过仿真计算和实验的数值对比验证非线性弹簧-阻尼碰撞力模型在柔性多体系统多点接触中的适用性。
尽管对于刚体和结构的碰撞问题已得到了较长时间的研究，但对于经历着大范围运动的柔性体的碰撞问题的研究尚显得相对薄弱，这是一个在本质上是时间和空间的多尺度、强非线性、高度耦合和非连续的动力学问题，是多体系统领域新的挑战和研究热点。本文对重力场下作大范围回转运动的柔性梁与一固定刚性面发生正碰撞的动力学问题进行了研究，首先基于梁变形的几何非线性，采用假设模态法描述变形，运用第二类拉格朗日方程建立了考虑刚柔耦合效应的系统动力学模型。建模过程中物理论文，对于碰撞力的计算采用非线性弹簧阻尼模型，并通过碰撞力势能的概念，将碰撞力广义力程式化地引入进系统的动力学方程中，从而建立起系统的刚柔耦合碰撞动力学模型，并对实例进行了动力学仿真计算。同时研究了碰撞导致的柔性梁整体横向变形位移与梁整体位形的传播过程，揭示了变形传播具有的横波特性。
2 系统模型
2.1 物理模型
本文的研究对象为一根在铅垂面内作大范围回转运动的柔性悬臂梁，如图1所示。研究梁上端点在大范围运动中与某固定刚性面发生碰撞。假设柔性梁为细长Euler-Bernoulli梁，变形为小变形，材料均匀、各向同性，本构关系满足Hooke定律。梁的长度为L，弹性模量为E，截面惯性矩为I，横截面积为A，密度为ρ。过柔性梁转轴O处建立惯性坐标系OXY，用来描述梁的大范围运动；在柔性梁上建立浮动坐标系Oxy，其中x轴沿梁未变形时的中心轴线，用来描述梁的小变形运动。
 
图1 作大范围运动的柔性梁系统图2 柔性梁的变形描述
Fig. 1 The flexible beam with large overall motion Fig.2 Description of the beam’s deformation
2.2 耦合变形描述
假设柔性梁是细长梁，忽略其沿轴向的拉压变形，考虑横向变形，以及横向变形引起的轴向缩短即耦合变形项论文格式范文。柔性梁的变形示意图见图2。设梁上一点的横向变形位移为 ，
则横向变形导致的轴向缩短为[7]：
 （1）
式（1）是变形位移的非线性耦合项，传统的零次耦合动力学模型在建模过程中直接套用了结构动力学中的小变形假设，忽略了上述变形位移的非线性二阶耦合项 ，也就是认为横向变形和轴向变形互不影响。由于该耦合项在动力学方程中最终将表现为惯性力项，因此当柔性体的大范围运动为高速时，耦合变形项对系统动力学特性将产生本质上的影响，在这种变形位移场下获得的系统动力学方程是考虑几何非线性动力刚化效应的一次耦合动力学模型。
2.3 碰撞模型
本文采用弹簧阻尼模型来处理碰撞过程，从而可以描述整个碰撞过程中碰撞力和系统动力学响应的变化。研究矩形截面柔性梁与钝圆柱头刚性质量的弹性接触碰撞，假设碰撞是点-点或点-面正接触。
采用Hertz接触理论和非线性阻尼理论来描述接触碰撞过程。总体法向碰撞力为[8]
 （2）
利用根据Hertz接触理论中得到的弹性恢复力 来反映碰撞过程中的相互作用力，用非线性阻尼力 来反映碰撞过程中的能量损失。 为压下量。弹性恢复力和非线性阻尼力的表达式分别为[9-10]
  （3）
  （4）
式（3）中的接触刚度 根据Hertz接触理论得到，与两碰撞体的材料和接触点处的几何形状有关。式（4）中 、 为梁横截面的宽、高， 为钝圆柱头的半径； 为恢复系数， 为碰撞点初始相对速度， 为压下速度。这里引入碰撞恢复系数，用来表述碰撞过程的能量损失。
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