论文导读：深入分析换元法的目的和意义，从而得出各种换元技巧的本质规律，以便在数学解题中能够有效地选择换元方式.
关键词：换元法，转化
从一种形态转化到另一种形态，这是数学发展的一个杠杆，也是解题常用的手段. 数学史中这样的例子很多，无论是对一些具体问题的解决，还是在经典的数学方法中，都无不渗透着这一思想. 解题中常用到的换元法，其实也是这一思想的具体体现.
当然，为了使问题得到解决，转化应该是有效的. 什么是有效的转化？总的说来，有利于问题解决的转化就是有效转化. 在具体问题中，针对转化的有效性，人们作了很多的探讨. 以换元法为例，就有很多文章探讨了解方程中的换元技巧，积分中的换元技巧，等等. 每一类问题又由于其具体形式的不同，换元的形式也多种多样. 分析各种换元形式的共同规律，可以将其归结为以下两种模式.
一、通过换元使形式凝练、简化
化繁为简是处理问题的一种常用方法，也是数学解题的一种重要手段，恰当的换元往往可以起到这一作用.
例1 解方程 .
分析 这是一个含根式的二次方程，形式较复杂，但注意到方程左端可以化成关于 的表达式，令 ，原方程可简化为一元二次方程，问题得以解决.
解 原方程可改写为
 .(1)
令 ，则方程(1)可化为
 ，(2)
解此方程，得 （舍去）， .
由，得
 ，(3)
解方程(3)，得原方程的根
 ， .
二、通过换元改造难于处理的形式
表达式中出现难于处理的形式，如根式、超越函数等，通过适当的换元来改造形式，使问题得以解决.
例2 求不定积分 .
分析 被积函数的分子、分母中分别出现了二次根式和三次根式，没有直接的积分公式可以套用，设法将根式去掉. 令 ，可以将无理函数转化为有理函数.
解 设，即 ， . 于是
在具体问题中，换元的形式多种多样，但究其本质，多是从以上两个角度选择换元方式. 弄清这一基本规律，我们就没有必要去记忆各种换元技巧，具体问题具体分析，有针对性地恰当选择换元.
［参考文献］
[1]刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁. 数学分析讲义(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社，2003.
[2]宋天鉴，刘卫华，孙敏. 高中数学解题法[M]. 昆明：云南教育出版社，1996.
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