式中： 为总能量， 。
式(28)仅是原三维壳体问题的另一表达形式，若直接求解，会遇到与原三维弹性问题同样的困难。若三维壳体由多层复合层构成，该计算过程将变得十分繁琐。本文中借助变分渐近法渐近计算三维翘曲函数，可在保证足够精度的前提下，简化计算过程和步骤。
1.2 降维后的近似能量公式推导
众所周知，弹性体的形态完全由其能量所决定。为将原三维壳体问题降维为二维壳体问题，必须将原三维壳体中的能量用二维公式准确再现。可利用壳体 和 很小的特点，去掉所有高于 阶次项，得到足以构建Reissner壳体模型的近似能量范函为
 (29)
式中： 为弹性材料常量。
为能处理多层壳体结构并与二维有限元求解器相容，应用有限元离散方法解决最小化问题。因渐近修正到二阶的翘曲函数为四阶分段多项式，可使用5节点等参单元将三维翘曲场离散为一维有限元单元形式为
 (30)
式中： 为形函数； 为沿横向法线方向的翘曲场节点位移。
将式(30)代入式(28)，可将能量范函在近似精度范围内离散化为
 (31)
式中： ，下同； 为载荷相关项；新引入的与几何形状和材料属性有关的矩阵包括
 (32)
应用变分渐近法，首先需根据不同阶数找到泛函的主导项。由于只有翘曲是变化的，只需找到含翘曲或翘曲与其它量乘积项(如广义应变和荷载)的主导项。
对式(31)零阶近似后泛函的主导项为
 (33)
式中 分别为 (无几何修正)时由式(32)定义的相关矩阵。
式(10)约束的离散形式可表示为
 (34)
式中 ； 为零初始曲率 的正交化核心矩阵， ，这样问题转化为式(34)约束下式(33)最小化问题，可借助拉格朗日乘子通过常规变分计算得到问题的Euler-Lagrange方程为
 (35)
考虑内核矩阵 的属性，Lagrange乘子 为
 (36)
将式(36)代回式(35)，可得到
 (37)
因为式(37)右边与零空间 正交，存在唯一解与 的零空间线性独立，可选择任何三自由度约束以得到线性系统的解 。解的最终形式可写为
 (38)
式中 可由式(34)确定为
 (39)
在式(34)约束下泛函最小化的最终解为
 (40)
将式(40)代入式(31)得到渐近修正到零阶近似的总能量泛函为
 (41)
这一近似能量与古典分层板理论得出的结果相吻合，但未使用Kirchhoff动力学假设，且尽管能量形式相同，但零阶近似得到的横向正应变并不为零。基于零阶近似的壳体理论可准确预测薄壳体的全局变形和面内分量；对中等厚度壳体，为考虑横向剪切变形，需利用板/壳固有小参数 构建精细化翘曲场以更好地预测全局性能、面内分量和面上应力/应变，为此对零阶近似翘曲进行如下摄动
 (41)
将式(42)代回式(31)，可得到一阶近似的总能量泛函主导项为
 (42)
其中  。
与零阶近似类似，一阶翘曲场可表示为
 (43)
代回式(42)，得到渐近修正到二阶的总能量泛函为
 (44)
式中P项为载荷产生的二次项，当无载荷作用时该项消失；
 (45)
1.3将近似能量转换为Reissner模型形式
尽管式(44)渐近修正到第二阶，但因其含广义应变的导数，涉及复杂、超过必要的边界条件。为得到实用的能量范函，可将这种近似能量转换为实际工程中经常使用的Reissner-Mindlin模型形式。
在Reissner-Mindlin模型中，有两个增加的横向剪切自由度 ，将其纳入到横向法线方向的旋转变量中。引入另一组变形壳体的三元基 ，二维应变的Reissner模型形式可定义为
 (46)
由于可唯一由 和 确定，可推导Reissner形式应变量 和 关系为
 (47)
式中：
 ； (48)
将式(47)代入式(44)，可得到Reissner应变表示的修正到二阶的总能量泛函为
 (49)
1.4三维场重构关系推导
经渐近修正的Reissner壳体模型尽可能与总能量一致，但简化模型的可靠性取决于其对原三维结构的三维场预测的精确性，因此需提供重构关系以完善简化模型。本文通过二维变量和 来重构三维位移、应变和应力场。
对渐近修正到二阶的应变能，可重构包含所有一阶项的三维场。由式(1)，(11)，(12)可得重构的三维变形为
 (50)
式中： 是三维壳体变形列阵； 为二维壳体变形； 是由式(10)得到的全局旋转张量。
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