 (9)
壳体变形后位置向量 转换为变形状态的位置向量 ，后者可通过引入与变形形状相关的单位向量 唯一确定。值得注意的是仅是为方便表达向量引入的工具，其方向不必与变形壳体相切。和 的关系可由方向余弦函数矩阵 确定为
 (10)
变形壳体上任一点的位置向量可表示为
 (11)
式中 是翘曲分量。在这里视为未知的三维函数求解。
由于翘曲函数的引入，式(11)有6次冗余，需选择6个约束条件在和 之间建立一一对应的关系。与式(2)类似，可定义在变形壳体的中间面层，这样，翘曲函数必须满足以下3个约束：
 (12)
将 设为与变形壳体参考面垂直可确定其它两个约束。最后一个约束可由 的旋转得到， 。
基于旋转张量分解理论[9-10]，由局部小旋转的条件，Jauman-Biot-Cauchy应变分量可表示为
 (13)
式中 是变形梯度张量的混合基分量，
 (14)
式中：； 为逆变基向量， ， ； 为变形状态的协变基，可由下列广义二维应变得到
 (15)
式中： 为 阶二维平面应变； 为变形曲面的曲率，为未变形几何曲率 和翘曲曲率 之和。
对于薄壳体结构 （ 分别为三维壳体的厚度和曲率半径）， 阶次项可忽略不计；对大多数中等厚度的壳体结构 ，需对阶次项进行修正(几何精细化)；由文献[11]的数值算例表明二维壳体模型在 阶次内可得到满意的预测结果，因此可对二维模型修正到 阶次项(剪切修正)。作如上近似后，由 阶次项表示的三维应变场为
 (16)
式中： ，下同；
 (17)
算子 可参阅文献[8]。
壳体结构总应变能可表示为
 (18)
式中： 三维壳体未变形状态所占空间； 为未变形参考面区域；
 (19)
每单位面积的应变能为
 (20)
式中： 为来自四阶弹性矢量的 阶材料矩阵。该矩阵完全填充，若复合层合壳体各层相对于中间层单斜对称，且绕局部法线旋转，则不论倾角如何变化材料矩阵中的某些元素始终为零。
为分析作用载荷产生的虚功，对位移场作拉格朗日变分得到虚拟位移为
 (21)
式中：参考面的虚拟位移为
 (22)
参考面的虚拟旋转定义为
 (23)
由于应变很小，可安全地忽略虚拟旋转中翘曲与载荷的乘积项。由载荷 ， ， （分别作用在壳体的顶面、底面和厚度方向）产生的虚功为
 (24)
式中： 视为独立变形； ,
 ，下同。
通过引入 列阵，并由式(1)、(10)和(11)得到矩阵形式的虚功
 (25)
式中： ； (26)
根据虚功原理，三维壳体变形后的能量问题可完整表述为
 (27)
式中有三个虚拟量：虚拟位移 ，虚拟旋转 和翘曲场变量 。前两个量可由二维壳体变形分析求解，是建模过程中唯一需要确定的未知量。
根据总势能最小原理，未知翘曲函数可通过式(12)约束下对能量泛函最小化求得：
 (28)
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