论文导读:：为有效分析复合材料壳体结构沿厚度方向的三维应力分布，利用变分渐近方法(VAM)构建渐近修正Reissner简化模型。基于旋转张量分解概念推导由一维广义应变和翘曲函数表示的三维壳体能量表达式；利用壳体固有的小参数渐近修正翘曲函数，以此为基础构建与原三维能量尽可能接近的二维能量，同时将近似能量转换为Reissner形式以便实际工程应用；并用二维变量推导三维场重构关系以正确预测沿厚度方向的应力分布。通过对一由4层对称角铺设复合材料壳体的柱形弯曲算例分析表明：基于该理论和重构过程开发的变分渐近程序VAPAS重构生成的面外应力精确性较一阶剪切变形理论和古典层合理论更好，与三维精确解相吻合，表明该复合材料壳体模型的有效性。
关键词：变分渐近法，复合材料三维壳体，应力场重构，Reissner-Mindlin模型
近20年来，先进复合材料结构因其高强度、高模量、可设计性等优点已广泛应用于航天航空、机械、土木等领域。复合材料结构很多都属于厚度尺寸比其它两方向尺寸小得多的壳体结构（板可视为衰退的、无初始曲率的壳体）。基于Kirchhoff假设（薄板）、由三维弹性理论推导出的古典层合理论是最简单的复合板分析理论。但若计入壳体厚度，其精度较三维有限元分析下降很多，主要原因是这些理论假设沿壳体厚度方向位移为 函数，而实际上位移函数可能是不连续函数。文献[1-4]利用板厚相对基准面上的变形很小的特点，将板的厚度坐标从偏微分方程的独立变量中去掉，用精确的二维模型代替三维模型以对古典模型不足之处进行改进，但大部分研究都是基于特定的动力学假设（如沿厚度方向的位移分布假设等）。
随着近年来计算硬件和软件的发展，可使用三维有限元软件ANSYS或NASTRAN对这类复合壳体结构进行三维计算和分析，如陈伟等[5]以ABAQUS软件为分析平台，采用非线性有限元法研究了横向载荷作用下复合材料双曲率壳的屈曲和后屈曲行为；Apalak[6]的分析模型中对复合材料壳体采用软件中的八节点三维层状体单元进行应力求解，但仍有必要对这种结但仍有必要对这种结构进行简化分析，原因在于：首先，许多工程问题目前无法用三维有限元分析处理，如实际的转子叶片由200多层非常薄的复合层构成，每一层至少需要一个单元进行模拟，若使用三维有限元模型，该叶片模型很容易超过109个自由度。因此，由4个转子叶片构成的旋翼气弹性分析目前无法在任一台计算机上通过三维有限元分析解决；二是尽管三维有限元能在连续介质力学框架内提供很好的准确性，但计算太费时，且耗费大量的计算机资源，难以在规定的设计和分析时间内完成预定目标，因此迫切需要一种高效、快速的专业复合材料层合板/壳分析方法和程序，以缩短设计时间，降低计算成本。
本文中主要研究将变分渐近方法(VAM)[7-8]扩展到由复合材料壳体结构分析中，建立一种简单的、便于工程应用的弹性二维壳体简化模型，同时利用得到的二维壳体全局响应和翘曲函数精确重构三维应力/应变/位移场，以解决复合材料壳体结构各向异性、非线性带来结构复杂性的关键技术问题，为今后复合材料壳体结构进一步研究与应用提供新的思路和理论依据。
1公式推导
1.1 三维壳体能量表达式
对于具有较小厚度 的三维壳体结构，可取其中间层作为参考面（如图1所示）。参考面的几何形状可由一组曲线坐标 表示(本文中希腊字母下标 、 代表1、2；拉丁字母下标 、 、 代表1、2、3)。不失一般性，选择曲率线为曲线坐标以简化方程。为描述三维壳体空间形状，选择与参考面相垂直的 作为正则坐标。
图1 三维壳体基准面变形前后坐标系
Fig.1Coordinates system of 3D shell before and after deformation
引入一组沿 方向的单位向量 ，三维壳体基准面上任一质点的位置可由固定点 到确定点的位置向量 描述为
 (1)
当未变形壳体参考面与中间层相一致时
 (2)
式中：尖括号表示沿三维壳体厚度方向的积分，下同。
与有关的二维基向量可定义为
 (3)
式中； ，下同。
由上式定义可得Lamé参数为
 (4)
沿坐标的单位向量可表示为
 (5)
单位向量构成正交三元基，即
 (6)
由式(3)的定义可得到三维基向量 为
 (7)
对于不同几何形状的参考面，可将单位向量定义为
 (8)
式中 为面外曲率；若取曲率线为坐标， ；曲率 可由Lamé参数定义为
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