论文导读：利用保角变换的方法来求解非理想电容器的电容，可以使计算大大简化。
关键词：保角变换，理想电容器，计算
教材[1]中，举例计算了几种理想电容器的电容。发表论文。采用的计算方法是：先计算出两导体面之间的电势差，再利用电容的定义算出电容值。发表论文。然而，对于一般非理想的情况，由于两带电导体面上电荷的相互影响，两导体面之间的电场不再具有对称性，用教材中的计算方法就很难得到电容值。发表论文。
本文采用了保角变换的方法[2]，把同轴圆柱形电容器、非平行板电容器和偏轴圆柱形电容器变为平行板电容器，然后利用平行板电容器的电容公式计算出它们的电容。
1.同轴圆柱形电容器
设同轴圆柱形电容器的两导体柱面的半径分别为R1和R2，其横截面见图1(a)。我们可采用对数变换ζ=lnz=ln|z|+iargz=ξ+iη，它把内圆柱变为直线ξ=lnR1，其主值是0≤η≤2π的一段；它把外圆柱变为直线ξ=lnR2，其主值也是0≤η≤2π的一段，见图1(b)。这样，z平面上的圆柱形电容器就变为ζ平面上的平行板电容器，两极板的宽度为2π，极板间距离为lnR2-lnR1=ln(R2/R1)，由平行板电容器的电容公式，其单位长度的电容为
 ，
这也是原来的圆柱形电容器单位长度的电容，与[1]的结果一样。
2.非平行板电容器
设非平行板电容器的两块极板长、宽分别为l和L，其截面如图2(a)所示。极板AB、CD延伸后相交于O点，交角为θ，极板两端到O点的距离分别为R1和R2，则L= R2-R1。
我们可采用对数变换ζ= lnz=ln|z|+iargz，它把z平面上极板所在二条射线之间的区域变成ζ平面上平行于实轴的宽为π的带形区域，见图2(b)。其中ξA=lnR1，ξB=lnR2. 这样，z平面上的非平行板电容器就变为ζ平面上的平行板电容器，两平行极板的宽度为L′=ξB-ξA=ln ，极板间距离为d′=π，由平行板电容器的电容公式，其电容为
 ，
这也就是原来的非平行板电容器的电容，与[3]的结果一样。
3.
偏轴圆柱形电容器
设偏轴圆柱形电容器的两导体柱面的半径分别为R1和R2，两轴线之间的距离为D，横截面见图3(a)。我们可采用分式线性变换ζ= ，要把这两个圆变为同心圆，x1和x2必须满足下列条件
 ，
从这两个方程解得
 ，
经过变换后，z平面上的偏轴圆柱形电容器变为ζ平面上的同轴圆柱形电容器，见图3(b)。半径 和 分别为
 ，
由同轴圆柱形电容器的电容公式，其单位长度的电容为
 ，
这也就是原来的偏轴圆柱形电容器的电容，与[4]的结果一样。
4.结束语
利用保角变换的方法来求解非理想电容器的电容，可以使计算大大简化。这种通过其他途径变换求解的方法，在物理学中经常用到。
参考文献：
[1] 程守洙，江之水.普通物理学(2)[M].第5版.北京：高等教育出版社，1998.
[2] 梁昆淼.数学物理方法[M].第3版.北京：高等教育出版社，1998.
[3] 秦德培. 非平行板电容器电场和电容的简化计算[J].大学物理，1995，12(1)：13.
[4] 刘栓江. 单芯偏心电缆单位长度电容的计算[J].大学物理，2003，22(8)：17.
|
