| 但是当投资于人力资本的资源达到一定的数量时，投资于人力资本的收益率也会提高，同时生育人数n会降低，这是因为生育的成本将会增加，Rh增加，H增加，而a(n*)-1会减少。因此当H非常大时，为了达到均衡状态以下的等式必须成立
a(n∗)−1=Rh(H∗) (2.6)
在这里n*表示均衡状态时的生育率。
接下来我们将会用模型来说明均衡的类型和以上讨论内容的动态过程。为了能够和生育率，人力资本很好的联系在一起，我们会忽略劳动力资本并且假设在消费，人力资本和生育率部分的产出单一。
我们同样假设每个人都存活两期，即是幼年期和成年期，成年人工作T小时并且在他幼年的时候会花费所有的时间用于人力资本的投资。一个成年人将会在成年期的开始选择生育n个孩子，而养育孩子将会带来时间和资源的消费，v表示成年人养育每个孩子所花费的时间，f表示投资在每个孩子上面的资源。每一个后代都会有Ho的人力资本的禀赋。而人力资本的产出由他们父辈的人力资本所决定，当他们的父辈具有先进的知识的时候，这样的优势将会被子女所继承。其次，人力资本的产出率还取决于花在教育上面的时间，当父母愿意花更多的时间教育子女的时候，子女将会从父母那里继承更多的知识，从而子女所拥有的人力资本会更多。假设这是一个道格拉斯生产函数，然后把Ho和Ht代进去，我们可以得到：
Ht+1 = Aht(bH0 + Ht)(2.7)
系数A用于衡量投资的产出率，表示了H0到Ht之间的转换率。
而消费函数也同样是一个道格拉斯生产函数
ct + fnt = Dlt(DH0 + Ht)(2.8)
这里c表示平均每资本成人的消费量，D表示消费部门的产出率，lt表示花费在消费品产出上的时间，d表示Ho和Ht在消费部门的转换率。由于生产函数是道格拉斯生产函数的形式，所以时间和人力资本是与生产消费商品联系在一起的，同时这个函数还满足规模报酬不变。
最后，时间约束为：
T = lt + nt(v + ht) (2.9)
父母在2.7,2.8,2.9的约束下实现动态的效用最大化：
 （2.10）
我们采用贝尔曼方程进行求解（见附录1），用v(Ht)表示方程的值，最优结果可以表示为：
−(ct)σ−1 + αnt(ct+1)σ−1A(T − vnt+1)(2.11)
在t和t+1时期平均每资本消费的套利约束是
 (2.12)
在这里rht是投资在人力资本上的收益率，当投资是正数的时候成立。 这个收益率可以表示为
Rht = A(T − vnt+1) =A(lt+1 + ht+1nt+1) (2.13)
在贝尔曼方程中通过对Vt进行nt的求导我们可以得到使得效用最大化的一阶约束条件为：
(1 − ε)α(nt)−εVt+1 = u0(ct)[(v + ht)(H0 + Ht) + f] (2.14)
当H=0时，方程2.12变成严格不等式：
(nu)ε > αA(T − vnu) (2.15)
在这里nu表示低水平均衡时的生育率。当父母选择高的生育率的时候这个不等式成立。当H=h=0时，我们可以简化等式2.14为：
 (2.16)
等式的左边是在均衡时刻从子女那里所得到的经济上的收益率，分子上面(T-vnu)Ho是从养育子女所得到的潜在收益，减去养育子女的花费，除以父母用于生育子女上面所损失的消费，所以这个比例表明了从生育子女那里所获得的收益。当用于生育子女的时间（r）和资源（f）相对比较小的时候，从生育子女那里获得的收益就会比较高。因此，当生育子女的花费比较低的时候，父母会更愿意多生孩子。而一个比较高的生育率将会导致父母投资在子女上面的人力资本就会比较低。当H=0的时候，将会达到均衡的状态。
定理一：当H等于某些正数的时候这个均衡也成立。这种均衡成立的条件是Ht+1 2/2 首页 上一页 1 2 |
