| 当SV波垂直入射，左右两半空间为相同的材料时，反射系数和透射系数满足如下的能量平衡关系
 （22）
上式可以用来验证数值结果的正确性，详细的推导过程如附录A所示。
五、局部化因子
与理想周期结构不同的是，当弹性波在准周期结构中传播时，由于准周期系统自身的结构特点，会出现波动的局部化。局部化因子可以用来表征理想周期系统、失谐周期系统和准周期系统中波的传播特性和局部化现象[15]。这里我们用局部化因子的概念来表征Fabonacci准周期结构中弹性波的衰减特性。
对于图1所示的准周期层状结构，当SV波垂直入射传播时，利用Wolf的方法[16]，可以给出结构中局部化因子的表达式
 （23）
式中 为单位状态向量，“ ”表示向量的模论文范文， 为式（12）中每个子层的传递矩阵。
当弹性波经过准周期结构的每个子层时，其幅值以 指数衰减；能量则以指数 衰减。波在结构中传播经过 个子层时波幅相对于初始波幅的衰减程度为 ，能量相对于初始能量的衰减程度为 。根据局部化因子的定义，局部化因子的值为零时相应的频率间隔为通带，局部化因子的值大于零时，相应的频率间隔即为禁带或带隙[15]。
五、数值算例与分析
前面推导的公式具有普遍性，适用于各种横观各向同性压电、弹性和压磁材料所组成的层状准周期结构。本节将以PZT-4（子层A）、Epoxy（子层B）和CoFe2O4（子层C）为例给出算例。子层A、B和C的厚度分别为 和 。为方便计算采用无量纲层厚 和无量纲频率 ， 为子层A中SV波的传播速度。在数值算例中不做特殊说明，取 和 ，材料常数如表1所示。为了与准周期结构的带隙特性作比较，算例中还给出了相应周期结构的计算结果。
表1 材料常数
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PZT-4 [9]
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CoFe2O4[9]
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Epoxy[15]
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 密度
ρ（Kg/m3）
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7500
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5800
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1200
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弹性常数
C44（N/m2）
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2.6×
1010
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4.5
×1010
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1.61472
×109
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压电常数
e15 (C/m2)
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10.5
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介电常数
ε11(C2/Nm2）
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7.1×
10-9
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压磁常数
h15（N/Am）
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550
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磁导率
μ11（Ns2/C2）
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157
×10-6
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作为与周期结构的局部化因子所描述的频带特性相比较，图2首先给出了SV波垂直入射传播时PZT-4/Epoxy/CoFe2O4层状周期结构第一布里渊区的频散曲线（无量纲频率 随Bloch波数K的变化关系），图中没有频散曲线的频率间隔就是结构的频率带隙。可以看出，在频率间隔 的范围内，周期结构中的Bloch波有6个带隙，带隙的宽度分别为1.143、1.023、0.341，1.124，0.842和0.602。相比于文献[9]中PZT-4/CoFe2O4周期结构带隙的数目和宽度，可以看出Epoxy弹性层的存在，可以明显地增大带隙的数目和宽度。这是因为相比于PZT-4和CoFe2O4，Epoxy的弹性常数和密度都要小得多，组分材料的波阻抗比值较大，因此带隙宽度较大。
图3给出了PZT-4/Epoxy为一组元，CoFe2O4为另一组元时PZT-4/Epoxy/CoFe2O4准周期结构的局部化因子随无量纲频率的变化关系，取第18代Fibonacci数列,即6765个子层。作为比较，还给出了相应周期结构的计算结果。局部化因子大于零的区间即为结构的频率带隙，局部化因子等于零的频率间隔即为结构的频率通带。图中虚线所示周期结构的局部化因子所描述的频带区间与图2频散曲线所描述的频带区间完全一致。
从图3可以看出，此种排列的准周期结构把原来周期结构的带隙区间一分为二且大致在带隙的中心频率处分开，且分裂开的两个带隙的宽度和局部化因子的峰值在大部分频率范围内大致相等；相比于理想周期结构，带隙变多但变窄。此现象与纯弹性Pb/Epoxy Fibonacci准周期结构的局部化因子的变化规律相类似[17]，但第二种模型所
示的准周期结构却显示了截然不同的计算结果。
图4给出了PZT-4为一组元，Epoxy/CoFe2O4为另一组元的PZT-4/Epoxy/CoFe2O4 Fibonacci 序列的局部化因子随无量纲频率的变化关系，也取第18代Fibonacci序列，但子层数目为5778个。相对于第一种模型，这种模型Fibonacci排列的子层数目较少，根据式（23）局部化因子的定义，图4所示局部化因子的值较图3所示局部化因子的值大。从图4中可以看出，此种准周期结构也把相应周期结构的带隙区间分裂，使得带隙变多变窄，但却并非像第一种模型那样几乎在原来带隙的中心频率处分裂，且其分裂开的两个带隙的宽度和局部化因子的峰值差别也较大。如原来周期结构的第二个禁带，被分裂开的第一个带隙的宽度为 ，其局部化因子的峰值为1.11；而分裂出的第二个带隙的宽度仅为 ，其局部化因子的峰值也仅为0.42。从图4还可以看到，这种峰值和带隙宽度的差别在低频处更为明显，在无量纲频率大于6时，被分裂开的两个带隙的局部化因子峰值的差别逐渐减小；随着频率的增大，带隙的宽度也逐渐趋于相等。
不论图3还是图4，可以看到在频率带隙区间内，两种模型准周期结构局部化因子的值均小于周期结构局部化因子的值，表明在带隙区间，准周期结构中弹性波的衰减程度比周期结构小；而在通带频率区间内，准周期结构的局部化因子均大于零，这说明准周期结构本身就具有局部化现象，这是由准周期系统自身的结构特点决定的[17]，这种特性也可以从透射系数上看出来。图5给出了两种模型的第11代Fibonacci序列的位移透射系数随无量纲频率的变化关系论文范文，作为比较还给出了两种模型的局部化因子随无量纲频率的变化关系。
从这两个图中可以看出，准周期结构频率通带范围内透射系数的值小于1，但局部化因子的值大于零。频率带隙范围内，透射系数的值基本为零。局部化因子和位移透射系数所描述的准周期结构的频带特性完全一致，因此利用局部化因子可以很好地描述弹性波在其中的传播行为[15]。作为准周期系统能量平衡的验证，图6a、6b分别给出了两种模型的第11代Fibonacci序列能量反射和能量透射系数随无量纲频率的变化关系。可以看出，两种准周期结构中的入射波、反射波和透射波所携带的能量满足关系式（22），说明两种准周期系统的能量守恒；同时能量系数所反映出两种准周期系统的频带结构与相应局部化因子（图5）所描述的频带结构也完全一致。
为了更进一步阐述准周期结构在通带频率范围的局部化程度，图7给出了两种模型第11代Fibonacci序列准周期结构以及理想周期结构的位移透射系数随无量纲频率的变化关系。对于相同的第11代Fibonacci序列，第一种模型（AB/C）的子层数为233，而第二种模型（A/BC）的子层数为199；周期结构取70个单胞，即210层。在大部分通带频率范围内，例如 、 和 可以明显地看出，由于结构自身特点所造成波动的局部化现象，两种模型准周期结构的位移透射系数均比理想周期结构的位移透射系数小。
六、结论
本文采用传递矩阵方法，通过引进局部化因子的概念研究了两种Fibonacci序列的压电/弹性/压磁层状准周期结构中弹性波的传播和局部化特性，考虑了力-电和力-磁耦合的SV波垂直传播的情形。以PZT-4/Epoxy/CoFe2O4复合材料为例给出了具体的算例，并与相应理想周期结构的计算结果进行了比较，数值计算结果表明：
(1)对于PZT-4/Epoxy/CoFe2O4准周期结构，两种Fibonacci准周期结构的带隙特性完全不同，(PZT-4/Epoxy)/CoFe2O4 Fibonacci准周期结构与纯弹性Pb/Epoxy Fibonacci准周期结构的带隙特性相类似。
(2)相对于PZT-4/Epoxy/CoFe2O4理想周期结构，两种模型的PZT-4/Epoxy/CoFe2O4 Fibonacci准周期结构带隙的数目较多，但带隙的宽度较小。
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