论文导读：运用半序与混合单调算子理论,讨论了Banach空间中一类非线性算子方程A(x,x)=Bx解的存在唯一性,并给出迭代序列收敛于解的误差估计，所得结果改进和拓展了已有文献中的相应结果.
关键词：算子方程，锥与半序，混合单调算子
1 引言
在Banach 空间中,混合单调算子一类重要的算子。免费论文网。 对于混合单调算子,特别是对于在适当的序条件下的非线性单调算子问题, 应用迭代方法对算子方程A(x,x)=x可解性研究已有较多结果[1-6]，但对A(x,x)=Bx[7]这类算子方程的可解性讨论却不多见,本文利用半序和迭代方法研究了在算子非连续非紧条件下,这类算子方程的可解性,并得到了几个这类算子方程解的存在唯一性定理。
本文总假设E为具有正规锥P的半序实Banach空间,θ表示E中的零元素,N为P的正规常数。免费论文网。关于锥和半序理论参见文献[8].设u0,v0∈E且u0<v0,用D=[u0,v0]表示E中的序区间.
定义1[8]称二元算子A:D×D→E为混合单调算子,如果A(x,y)对每一个固定的y∈D关于x是增的,对每一个固定的x∈D关于y是减的。
引理1【9】锥P正规的充要条件是：存在与原来的范数 等价的范数 ，使关于锥P是单调的。
2 主要结果
定理1 设P是实Banach 空间E中正规锥，A:D×D→E是混合单调算子,而B：E→E是连续的非线性算子,且满足下列条件:
i)存在单调递增的函数 有
‖A(u,v)-A(v,u)‖≤ ;
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ii)存在 ,使得 u0+a(v0-u0)≤A(u0,v0), A(v0,u0)≤v0-b(v0-u0);
iii)对任意的u0≤u≤v≤v0，有A(u,v)≤Bu≤Bv≤A(v,u)
记 ，若a+b<1- ,则算子方程A(x,x)=Bx在[u0,v0]中有唯一解x*,对任意x0,y0 D,且x0≤y0，作迭代序列
xn+1=A(xn,yn)-a(yn-xn),yn+1=A(yn,xn)+b(yn-xn),n=0,1,2,3,…(1)
且有误差估计
 (2)
证明 考察迭代序列(1),令
un+1=A(un,vn)-a(vn-un),vn+1=A(vn,un)+b(vn-un),n=0,1,2,3,… (3)
运用归纳法易证 u0≤u1≤u2≤…≤un≤…≤vn≤…≤vn≤v1≤v0 (4)
事实上，当n=1时，由条件i),(3)式及A是混合单调算子，我们有
u0≤A(u0,v0)-a(v0-u0)=u1≤A(u0,v0)≤A(v0,u0)=A(v0,u0)+b(v0-u0)=v1≤v0;
即u0≤u1≤v1≤v0,(4)式成立。免费论文网。假设n=k时,(4)式也成立，即uk-1≤uk≤vk≤vk-1,则当n=k+1时，由(3)式及A是混合单调算子有
uk=A(uk-1,vk-1)-a(vk-1-uk-1)≤A(uk,vk)-a(vk-uk)=uk+1≤A(uk,vk)≤A(vk,uk)
≤A(vk,uk)+b(vk-uk)=vk+1≤A(vk-1,uk-1)+b(vk-1-uk-1)=vk;
即 uk≤uk+1≤vk+1≤vk，故n=k+1时(4)式成立。
又由条件i)知 单调递增及锥 P正规，则
‖vn-un‖=‖A(vn-1,un-1)+b(vn-1-un-1)-A(un-1,vn-1)+a(vn-1-un-1)‖
≤‖A(vn-1,un-1)-A(un-1,vn-1)‖+ (a+b)‖vn-1-un-1‖
≤ + (a+b)‖vn-1-un-1‖
≤ + (a+b)‖vn-1-un-1‖
= (+a+b)‖vn-1-un-1‖
≤(+a+b)2‖vn-1-un-1‖≤…≤(+a+b)n‖v0-u0‖, (5)
故由(4)知，对任意自然数n,p有
θ≤un+p-un, vn-vn+p≤vn-un(6)
从而由(6)式及P的正规性知
‖un+p-un‖≤N‖vn-un‖≤N(+a+b)n‖v0-u0‖ (7)
‖vn-vn+p‖≤N‖vn-un‖≤N(+a+b)n‖v0-u0‖ (8)
由0<+a+b <1及(7),(8)式知{un}与{vn}均为Cauchy列，由E的完备性知存在u*,v*∈E,使un→u*,vn→v* (n→∞) , 且un≤u*≤v*≤vn,再由θ≤v*- u*≤vn-un与锥P的正规性易知u*= v*≡x*∈D,由un≤un+p≤vn 令p→∞,得 un≤x*≤vn, n=1,2,3,….
下证x*是方程A(x,x)=Bx在[u0,v0]中有唯一解：由条件ii)及(3)式可知
un+1≤un+1+a(vn-un)=A(un,vn)≤Bun≤Bvn≤A(vn,un)≤A(vn,un)+b(vn-un)=vn+1
un+1≤un+1+a(vn-un)=A(un,vn)≤A(x*, x*)≤A(vn,un)≤A(vn,un)+b(vn-un)=vn+1
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