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证明数列不等式的常用方法

时间：2015-06-17 作者：曹平原

前n项和

，数列{

}的前n项和

．
（Ⅰ）求数列{

}与{

}的通项公式；
（Ⅱ）设

，证明：当且仅当n≥3时，

w．w，
解：（Ⅰ）由条件容易得到：

，

．
．，（Ⅱ）（证法一）用比较法由(1)知数列不等式

，

，
当

时，

，由此解得

，
当

时，

成立，所以

成立，即

．
由于

恒成立．因此，当且仅当

时，

．
（证法二）用分析法因为数列不等式

，要证

，
只需证

，此式等价于

，
又等价于

．因为

时，

恒成立．
所以，当且仅当

时，

．
【评析】由

可求出

和

，这是数列中求通项的常用方法之一．在求出

和

后，进而得到

，接下来用作差法或作商法来比较大小，这也是一种常用的方法．为了使过程简单一些，还可以用分析法．
六、连续使用放缩法，用逐步放大或逐步缩小的方法证明数列不等式
例6 (2009高考陕西)已知数列

满足，

．
（Ⅰ）猜想数列

的单调性，并证明你的结论；
(Ⅱ)证明：数列不等式

．
证（Ⅰ）由

及

得

，
由

猜想：数列

是递减数列．下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，命题已经成立．
（2）假设当n=k时命题成立，即

，易知

，
那么

，即

，
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立．
（Ⅱ）当n=1时，数列不等式

，结论成立．
当

时，易知

，

．
【评析】在本题第2问的证明过程中，先是对要用到的式子进行缩小，然后用了逐步放大的办法进行证明．在最后的证明过程中，只用了放缩法，没有使用数学归纳法．
七、在利用数学归纳法证明的过程中，插入作差法证明数列不等式
例7（2008年高考浙江）已知数列

，

．记：

，

．
求证：当

时，（Ⅰ）

；（Ⅱ）

；（Ⅲ）

．
证明（Ⅰ）用数学归纳法证明．
①当

时，因为

，

是方程

的正根，所以

．
②假设当

时，

成立，由

，得

．则

，
所以

．即当

时，

也成立．
根据①和②，可知

对任何

都成立．
（Ⅱ）由

，

（

），
得

．因为

，所以

．
由

及

，得

．
又

．所以

．
（Ⅲ）由

，得

，所以，

，于是

，
故当

时，

．又因为

，所以

．
七、利用函数的单调性和最值证明数列不等式
例7 （2008年高考陕西）已知数列

的首项

，

．
（Ⅰ）求

的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的

，

；
（Ⅲ）证明：

．
解（Ⅰ）

，

，
又

，∴　

．

．
（Ⅱ）设

，
则

．

，∴当

时，

；当

时，

．
∴当

时，

．所以，原不等式成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的

，有

，因而有

．
设函数

，则

，因为

，所以当

时，函数

,因此

成立．

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