 (2)，  (4)，  (5)
定理2 设方阵 为块对角阵： ，若对对角线上的每一个子矩阵都有零特征值的指标不大于1，则 存在 次方根。其形式可由(2)和(3)直接推广给出。
证明 因为上面形式的块对角阵的特征值是对角线上各块子矩阵特征值的并，且对在 上有定义的任意复值函数 满足[2]：
所以由定理1的证明可知该结论成立。
下面我们来讨论 的谱性质。
引理2 设矩阵,它有最小多项式 ,且是定义在 上的复值函数,则存在与 无关的矩阵 , ; ,使
 (6)
并且，这些矩阵 线性无关，它们与 可交换且彼此之间也可交换。
引理2是 的谱分解定理，其证明可参见文献[2]第113-114页。由文献[2]中的定义知，矩阵只与的最小多项式 的结构有关，而与无关。且有  ，其中  , 。于是取 的主分支，令 ，则我们可得到矩阵的次方根的谱分解定理。
定理3 设, 是它的 个不同的特征值，指标分别是 , ，  是它的最小多项式,若它满足定理1的条件，则有如下形式的一个次方根 ，这里 , 同(6)式。
证明 由引理1 可直接得出。
最后，我们给出谱射影定理。
定理4 设满足定理1的条件，并设 为它的 个特征值，则有  是的特征值。
证明 由定理1直接得证。
3 结束语由文献[2]第105页的命题6知道，当矩阵是Hermite 正半定（正定）阵时，是它的唯一的Hermite正半定（正定）次方根。免费论文网。
当 时，定理1 就简化为二阶方阵的平方根，相关结论在文献[1]中已有比较详细地讨论；而对 ，它就简化为二阶方阵的立方根，也已有文献讨论过了。
本文只是利用Jordan标准型给出了非奇异方阵和零特征值指标为1的方阵的任意次方根，而矩阵的根显然不是唯一的。于是是否还有其他形式的根，如果有则它们之间有着什么样的联系、有多少个都有待进一步的研究。
参考文献：
[ 1 ] 胡结梅. 二阶方阵的平方根和三角方阵的平方根[J]. 数学通报，1997，第11期：35 - 37
[ 2 ] 陈公宁. 矩阵理论与应用[M]. 北京：高等教育出版社，1990.
[ 3 ] 王建锋. 求矩阵 的Jordan标准型的另一种方法[J]. 数学理论与应用，2004，第24卷第2期：5-8
[ 4 ] 程云鹏. 矩阵论[M]. 西安：西北工业大学出版社， 2001.
[ 5 ] 徐仲，张凯院，陆全.Toeplitz 矩阵类的快速算法[M].西安：西北工业大学出版社，1999.
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