引理1 设，是定义在上的复值函数，是定义在的谱 上且在处有至少阶导数，这里是矩阵的特征值的指标，而,。又设,则为定义在上的复值函数且。
证明 设是的个不同特征值，它们的指标分别是，则
情形1 设是多项式的情形。令表示在上的Hermite插值多项式，则
。且易知在上具有相同的值，
从而有
情形2 设为一般复值函数情形。证明思路是找一个多项式，使得：1与在上有相同的值；2与在上有相同的值。若存在这样的，则有
事实上，若记,并应用复合函数求导法则于,我们有;; ;
(﹡)
从而我们只需取即可，其中;。免费论文网。
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在
的谱
上的
处有至少
阶导数”。修改后的定理7为：
，
是定义在
上的复值函数，
的谱
处有至少
阶导数，这里
是矩阵
的特征值
,
。又设
,则
为定义在
。
是
个不同特征值，它们的指标分别是
，则
表示
在
。且易知
在
，使得：1
在
与
在
,并应用复合函数求导法则于
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; 
;
(﹡)
即可，其中
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