2 主要结论及其证明定义2 设对于 阶方阵 ，如果存在阶方阵 ，使得 ，则称矩阵是矩阵 的一个 次方根。
定理 1若方阵的零特征值的指标不大于1，则它存在任意次的方根。
证明 分两种情况来证。
情形1 当非奇异时，设 的Jordan标准型是 ，其中 是对应于非奇异方阵的特征值 的 阶Jordan块。设 是定义在 上的复多项式函数，对任意的自然数 ，取 的主分支，令 ,定义矩阵
 (1)
式中各对角块如式(3)所示。再定义上的复函数 ，并设复函数 ，则根据引理1，得 ，即对上面定义的矩阵满足，从而是的一个次方根，并且是的多项式。
情形2 当的零特征值的指标为1时，零对应的Jordan块都是1阶的。不妨设有 个非零特征值，则 ,其中 是零特征值的个数，是对应于的非零特征值的阶Jordan块，则类似于情形1容易得
 (2)
满足，即是的一个次方根。其中 的形式如(3)所示。
注意，定理1的逆并不成立，即如果一个方阵有任意次的方根，并不能保证它的零特征值的指标不大于1。这是因为“零特征值的指标不大于1”只是一个必要条件，而非充分条件。一个简单的例子可以说明这一点：取方阵（4），它的零特征值的指标是2，它有一个平方根 (5) 如下，但是它没有立方根，当然也无更高次的方根。上面的结论也可推广到块对角阵上。
3/4 首页 上一页 1 2 3 4 下一页 尾页 |
