在内连续，且
即在内严格单调增加，又
，,
所以在内有唯一零点,即只有一个不动点.
例5 证明方程在中至少有一个根。
证设，则在上连续，且
，。
由定理5可知，在上至少有一个零点，即方程在中至少有一个根。
例6 讨论方程在内根的情况。
解 设，则，令得。
当时，；当时，。故在上单调递增，在上单调递减。从而在内分别至多有一个零点。又，， 。故在内分别至少有一个零点。因此在内分别有唯一一个零点，即方程在内有且仅有两个实根。
参考文献： [1] 同济大学数学系.高等数学(第六版上册)[M].北京：高等教育出版社，2007:71. [2] 同济大学应用数学系. 微积分(上册)[M].北京：高等教育出版社，1999;155-156. [3] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(上册)[M].北京：高等教育出版社，1986:81. [4] G.E.希洛夫.北数学分析专门教程[M]京师范大学数学系董延闿，郝鈵新，曾鼎禾，等合译， 北京：高等教育出版社，1965:41.
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内连续，且
在
，
,
,即
只有一个不动点.
在
中至少有一个根。
，则
在
，
。
在
内根的情况。
，则
，令
得
。
时，
；当
时，
上单调递增，在
上单调递减。从而
内分别至多有一个零点。又
，
，
。故
内有且仅有两个实根。