论文导读：此文讨论了高等数学中的闭区间上连续函数的零点存在定理的推广问题，给出了连续函数的零点存在的实用判断方法。
关键词：连续，变号，点存在定理
一、 定理的拓广
在高等数学中，有如下关于闭区间上连续函数的性质定理：
定理1(零点存在定理) 若函数 在闭区间 上连续，且 异号（即 ），则至少存在一点 ，使得  即方程 在 内至少有一个根( 称为在 内的零点)[1].
上述定理只是说明了闭区间上的函数零点的情况，为应用方便,下面我们将其推广。论文参考网。
概念1 设函数在区间 内有定义,且存在互异两点 ,使,则称在区间内变号,否则称在区间内不变号
定理2 若函数在区间内连续且变号,则在区间内至少有一个零点.
证: 函数在区间内变号,则存在互异两点,使,不妨设 ,则 ,由定理1知在区间内至少有一个零点.
注: 定理2知的优点是: 区间是非常任意的.
推论1若初等函数在区间内变号,则在区间 至少有一个零点。
推论2若函数在区间内连续、严格单调且变号,则在区间内有唯一零点.
推论3若初等函数在区间内严格单调且变号,则在区间内有唯一零点.
关于函数的单调性,由高等数学[2]知识易知
定理3若在区间内可导且其导函数区间内恒大于零（或恒小于零）,则在区间内连续、严格单调.
关于在区间内是否变号的判断方法是多样的、灵活的，因而一般情况下也是简单的。
例如假设在某一极限过程中 ，在另某一极限过程中 ，则必有两点 ,使 ， [3]，因而有，依是可得如下定理：
定理4若函数在区间 内连续，且
 ，
或  ，
则函数 内至少有一个零点。论文参考网。
证明：(1)若 ，(A为常数)，由极限定义及性质[3]可知：
若 ，则同样 ，
若 ，(B为常数)，则
若 ，则同样
综上所述，若
，
则在区间内变号,又在区间内连续，由定理2知数
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