论文导读：利用标准正交基的整体性质，等价的给出了标准正交基的一个新定义，并利用它简捷的证明了一些定理。由此我们可以发现新定义在实际运用中是较优越的。
关键词：欧几里得空间，标准正交基，正交变换，正交矩阵
１．引言
在传统的高等代数教材 中，欧几里得空间中的“标准正交基”这一概念是具体定义的，这样虽然便于理解但显得较“零散”在运用中不便于进行推演。论文发表。基于此笔者利用标准正交基的整体性质，等价的给出了标准正交基的一个新定义，并利用它简捷的证明了一些定理。论文发表。论文发表。由此我们可以发现新定义在实际运用中是较优越的。
２．定义
为了论述的简捷定义以下集合、矩阵及算子：
 其中 是数域
 其中 是欧几里得空间，内积以 表示
 其中 ，
 其中
定义１． 若满足：对于 有： ，
则称 是欧几里得空间的一组标准正交基．
３．定理
定理１． 若有： 则 ．
证明：设 由 及 的任意性令 ，其余都为零；得 ，即： ．证毕．
定理2． 定义１与传统定义等价 ．
证明：
必要性：设是传统定义下欧几里得空间的一组标准正交基则有：
对于有： .
充分性：设满足定义１，则对于，
得 由定理１得 即有：
以下证线性无关，设 则：
 证毕．
推论若则是的一组标准正交基 ．
４．运用
以下几个命题常见于传统教材中，但证明都比较麻烦．以下利用新定义给出它们的一个简捷证明．
命题１． 都是的标准正交基，且 则 ．
证明：对于，
则： 由定理１得证毕．
命题２．是的一组标准正交基，且，则 也是的一组标准正交基．
证明：对于，
证毕．
命题３． 是上的一个正交变换，是的一组标准正交基，则 也是的一组标准正交基．
证明：对于，
证毕．
命题４．是上的一个正交变换，是的一组标准正交基，若 则．
证明：对于，
 则：由定理１得证毕．
５．结语
通过以上运用我们可以发现新定义在实际运用中是较优越的。
［参考文献］
[1] 李胜平、徐斌. 线性变换的形式刻画及推演[J]. 高师理科学刊.2009.(3)
[2] 张禾瑞. 高等代数[M]. 高等教育出版社. 2002
[3] 北京大学数学系. 高等代数[M]. 高等教育出版社. 2005
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