牛顿插值算法在因式分解中的设计与实现

时间：2016-08-10 作者：李治强龙法宁洪月华

定义：设等距节点 xi=x0+ih， h是步长，i=0，1，2，…
记函数f的值 fi=f(xi)， i=0，1，2，…
则称一阶向前差分△fi=fi+1-fi，n阶向前差分△nfi=△n-1fi+1-△n-1fi
定理1：向前差分与函数的关系为：

其中

现讨论等距节点情形：
x0由定理1有： f[x0、x1、…、xk]= △kfi/(k!hk)
于是牛顿插值公式简化为
Nn(x)=f0+(x-x0)△1f0/(1!h1)+(x-x0)(x-x1)△2f0/(2!h2)+…+
(x-x0)(x-x1)… (x-xn-1)△nf0/(n!hn)
本算法采用等距节点h=1的情况，于是k次多项式Nk(x)的系数分别为：

1.2 因式判断
在本文中F(x)表示数域上F上的全体，设f(x)、g(x)

F(x)，物流管理毕业论文范文如果存在多项式f(x)= g(x)q(x)，则称f(x)能被g(x)整除，记为f(x)g(x)。整除有以下几个定理来判断：
定理2[6]:若R是整数环，R(x)也是整数环，因而必有商域

称为R上的一元有理分式域。
于是有:
(1)若g(x) =0，那么根据整除的定义，g(x)只能整除零多项式；
(2)若g(x)

0，那么由以上定理，当且仅当g(x)除以f(x)的余式r(x)=0时，g(x)能整除f(x)。
1.3 多项式相除算法
设f(x)= g(x)q(x)

则

n)
亦，当a0=0，ai

0时，f(x)必有因式g(x)=x；
当c0=0时，f(x)可能有因式g(x)=x；
当c0

0时，d0=a0/c0,dn-k=an/ck

(t=1,2,…,n-k-1)
2 算法分析及实现
用构造性算法(如图1)找出f(x)可能的因式g(x)，若g(x)为整系数多项式且最高项系数不为0，则flag=1;否则flag=0。若flag=1并验证出g(x)是f(x)的因式，则输出g(x),facmon=1,f(x)=f(x)/g(x)(即令n=n-k)；否则继续构造。若构造的g(x)的次数k>[n/2]且facmom=0,则f(x)是不可约多项式；若构造的g(x)的次数k>[n/2]且facmom=1，则输出f(x)的最后一个因式f(x)，否则继续构造。

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