论文摘要：中点法即将全站仪架设于前后棱镜的中间，观测两点间的高程来进行高程传递的一种测量手段。本文阐述中点法三角高程在工程测量应用的可靠性和可行性。
论文关键词：中点法,三角高程,精度分析,中误差
1、中点法三角高程测量的原理
1.1高差计算公式
如上图所示，为求得1、2两点的高差，将全站仪设于大致在中间的M点，则有
1点至2的高差为：
h=h-h=S*cosθ-S*cosθ+(S*sinθ)-(S*sinθ)+v-v(3)
其中：
S为经气象改正后的斜距；θ为天顶距的观测值；v为觇标高；R为地球平均曲率半径，一般地区取6371000；k为大气折光系数。
由于观测条件基本相同，可认为其折光系数k≈k，令k=k=k，代入(3)得：
h=S*cosθ-S*cosθ+{(S*sinθ)-(S*sinθ)}+v-v(4)
根据以上推导(4)可知，用中点法三角高差测量时，不需对中，也不必量仪器高。
1.2中误差的推导
对(4)进行全微分，令D1=S*cosθ、D2=S*cosθ，则
dh=cosθdS-cosθdS+dθ+dθ+dk+dv-dv(5)
根据误差传播定律，各观测量之间相互独立，而且观测的距离较短，则可近似认为m=m=m，天顶距的m=m=m，镜高的m=m=m，由(5)可推得三角高程的中误差为：
m=±(6)
上式中：m为测边中误差；m为天顶距观测中误差；m为大气折光系数中误差；m为镜高量取中误差；D为水平距离D=S*cosθ；ρ为弧度常数ρ=206265。
中点法三角高程应进行两次观测，则高差平均值的中误差为：
m==±(7)
2、中点法三角高程测量的精度分析
对于一般的2″级全站仪，m=±4mm、m=±2″、m=±0.05、m=±1mm，取不同的平距D,D=D+D,以及不同的天顶距θ，分别取75°、80°、85°。按公式(7)计算不同条件的中误差，结果如下表：
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平距D(m)
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前后视距差值(m)
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高差平均值中误差(mm)
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每公里高差中误差(mm/km)
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75°
|
80°
|
85°
|
75°
|
80°
|
85°
|
|
100
|
80
|
1.27
|
1.15
|
1.07
|
4.02
|
3.64
|
3.38
|
|
50
|
1.26
|
1.14
|
1.06
|
4.00
|
3.61
|
3.35
|
|
20
|
1.26
|
1.14
|
1.05
|
3.98
|
3.59
|
3.33
|
|
0
|
1.26
|
1.14
|
1.05
|
3.98
|
3.59
|
3.33
|
|
200
|
120
|
1.35
|
1.24
|
1.16
|
3.02
|
2.77
|
2.60
|
|
80
|
1.33
|
1.22
|
1.14
|
2.98
|
2.72
|
2.55
|
|
30
|
1.32
|
1.20
|
1.12
|
2.95
|
2.68
|
2.51
|
|
0
|
1.32
|
1.20
|
1.12
|
2.94
|
2.68
|
2.50
|
|
400
|
150
|
1.61
|
1.52
|
1.46
|
2.55
|
2.40
|
2.30
|
|
80
|
1.55
|
1.45
|
1.38
|
2.45
|
2.29
|
2.19
|
|
30
|
1.52
|
1.42
|
1.36
|
2.41
|
2.25
|
2.15
|
|
0
|
1.52
|
1.42
|
1.36
|
2.40
|
2.25
|
2.14
|
|
600
|
150
|
1.95
|
1.87
|
1.82
|
2.51
|
2.41
|
2.35
|
|
100
|
1.87
|
1.79
|
1.74
|
2.42
|
2.31
|
2.25
|
|
50
|
1.83
|
1.74
|
1.69
|
2.36
|
2.25
|
2.18
|
|
0
|
1.81
|
1.73
|
1.68
|
2.34
|
2.23
|
2.16
|
|
800
|
180
|
2.41
|
2.35
|
2.31
|
2.70
|
2.63
|
2.58
|
|
100
|
2.24
|
2.17
|
2.13
|
2.50
|
2.43
|
2.38
|
|
50
|
2.17
|
2.11
|
2.06
|
2.43
|
2.35
|
2.31
|
|
20
|
2.16
|
2.09
|
2.04
|
2.41
|
2.33
|
2.29
|
|
0
|
2.15
|
2.08
|
2.04
|
2.41
|
2.33
|
2.28
|
|
1000
|
200
|
2.92
|
2.87
|
2.84
|
2.92
|
2.87
|
2.84
|
|
120
|
2.68
|
2.62
|
2.59
|
2.68
|
2.62
|
2.59
|
|
80
|
2.59
|
2.54
|
2.50
|
2.59
|
2.54
|
2.50
|
|
30
|
2.54
|
2.48
|
2.44
|
2.54
|
2.48
|
2.44
|
|
0
|
2.53
|
2.47
|
2.43
|
2.53
|
2.47
|
2.43
|
|
1200
|
200
|
3.40
|
3.35
|
3.33
|
3.10
|
3.06
|
3.04
|
|
150
|
3.20
|
3.15
|
3.12
|
2.92
|
2.88
|
2.85
|
|
100
|
3.04
|
3.00
|
2.97
|
2.78
|
2.74
|
2.71
|
|
50
|
2.95
|
2.90
|
2.87
|
2.69
|
2.65
|
2.62
|
|
0
|
2.92
|
2.87
|
2.84
|
2.66
|
2.62
|
2.59
|
可见：距离较短时，天顶距越小，越是靠近中点，精度越高。
3、结论
3.1、由于距离越远，目标清晰度越差。笔者根据几年来，不同外界条件下，所累计1000多公里的野外测量经验，前后距离在800m以内时，使用该中点法观测三角高程还是能达到三等水准测量的精度要求的。
3.2、采用中点法进行三角高程测量，边长较短时，其精度主要受测距与天顶距精度的影响。而传统的往返观测法三角高程测量，精度主要受天顶距精度的影响。
3.3、从中点法三角高程测量的每公里高差中误差来看，如果全站仪的测距精度±4mm，测角精度±2″，前后两点间平距D在200m至1200m，取2倍的高差中误差作为极限误差，可满足三等水准测量平原地区±12mm的精度要求。
3.4、前后镜使用同一对中杆，高度相同，即v=v,则:
m==±(8)
可以不量取觇标高。
3.5、综上所述，采用中点法进行三角高程测量，在公路、水利等项目尤其便捷，很大程度地减轻劳动强度、提高效率。
参考文献
1 GB12898-91,国家三、四等水准测量规范;
2 杨国清.控制测量学[M].郑州: 黄河水利出版社,2005.9;
3 葛永慧.测量平差基础[M].北京: 煤炭工业出版社, 2007.10。
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