| 同理可以得到分块多项式内插拟合曲面与x∈[xi,xi-1],y∈[yj,yj+1]空间域内从m开始的n0个立方体相交的点。
3.2.2定位更佳离散拟合点
定位拟合效果更佳的离散点其实质是定位出离散点Qi(x,y,h)。当x∈[xi,xi-1],y∈[yj,yj+1]时，因为δλ足够小，从而可选该区域内的水压均值μh来代表该区域内真实水压面的水压值，在研究背景中已经提到，NURBS曲面虽能对型值点进行插值，但其它点只能较好逼近，而分块多项式内插拟合曲面由于其本身固有的性质，拟合阶次再高也无法克服其围绕真实值震荡的缺点,因而x∈[xi,xi-1],y∈[yj,yj+1]，两个曲面上的点都是围绕水压均值点来回震荡，与μh值邻近的值出现的概率大，离μh越小的值出现的概率越小，并且该区域两种曲面上的点分布都是集中在μh附近，从而当x∈[xi,xi-1],y∈[yj,yj+1]时，真实水压面上的点Q(x,y,h)服从三元正态分布N3(μ,∑)。因此可以将定位拟合效果更佳的离散点的问题转化为求总体均值μ的最大似然估计。
将真实水压面上的点视为总体，基于MC算法求得的交点视为来自总体的样本点，在作似然估计之前需要对上述来自总体的样本值做一定的预处理，依据区间估计原理求出总体水压均值μh的置信度为 (1-α)的置信区间，将未落入区间之内的样本值剔除掉。因为总体服从正态分布，方差未知，故采用如下公式求置信区间[5]：
 (3.2-8)
式中： 为样水压本均值， 为样本水压标准差，且 ， 。
上述三元正态分布未知参数值μ的最大似然估计为
 (3.2-9)
 (3.2-10)
 (3.2-11)
式中：n为样本点数。
令k01,k11,…kn11, m01,m11,…,mn01,为样本值经过预处理之后曲面分别与第k,(k+1),…,(k+n1),m,(m+1),…,(m+n0)个立方体方向边的交点数，k00,k10,…kn10, m00,m10,…,mn00为曲面分别与第k,(k+1),…,(k+n1),m,(m+1),…,(m+n0)个立方体水平方向边的交点，欲求的点为Qi：
 （3.2-12）
令NURBS曲面与第k到k+n1个立方体沿AB方向与立方体交点数为n01，沿BC方向与立方体交点数为n11，沿CD方向与立方体的交点数为n21，沿DA方向与立方体的交点数为n31；分块二元样条插值曲面与第m个立方体到m+n0个立方体沿AB方向与立方体交点数为n00，沿BC方向与立方体交点数为n10，沿CD方向与立方体的交点个数为n20，沿DA方向与立方体的交点数为n30，欲求的点为Qi，则：
 （3.2-13）
 （3.2-14）
当Qi(x), Qi(y),Qi(h)确定下来时，就定位出了空间中更逼近真实水压的点。博士论文，MC算法。图1表征当x∈[xi,xi-1],y∈[yj,yj+1]时NURBS曲面与2个小立方体相交，分块多项式插值拟合曲面与1个小立方体相交的情况。
3.3 Phong明暗处理算法生成水压面
在Phong方法中，采用扫描线算法绘制物体，算法依据光照模型沿扫描线计算每一像素的光强值，从而得到水压面图像。光强公式[6]如下： 
（3.3-1）
式中：Iα为入射到景物表面的泛光光强，Il为从一点光源发出的入射光的光强，kα为表面对泛光的漫反射函数 (0≤kα≤1)，kd(0≤kd≤1)为漫反射常数，ks为镜面反射光线和入射光线的比例，K为任意常数，0≤P≤2，d可由离视点最近的物体的相对位置来决定。
图2 式（3.3-1）参数说明图[4]
Fig 2 The explanation of the parameter in function (3.3-1)
选定适当的光源位置、视角及相关参数值后，求得每个像素点的法向量 代入式（3.3-1）中计算每个像素点的光强，就能得到水压面图像。在3.2中已定位了离散点(Qi(x),Qi(y), Qi(h))，线性连接所有离散点形成多边形。
Phong方法计算出多边形顶点处的曲面法矢量以近似表示曲面弯曲性，然后应用双线性插值方法求得扫描线上每个像素处的法矢量。计算过程描述如下： (3.3-2) (3.3-3)
式中： 为NURBS曲面（Qi(x),Qi(y)）处对应点的梯度， 为分块多项式内插拟合曲面（Qi(x), Qi(y)）处对应点的梯度。
利用线性插值法求出(Qi(x),Qi(y), Qi(h))的梯度 ，根据 这一关系求(Qi(x),Qi(y), Qi(h))：
 （3.3-4）  (3.3-5)
式中：t为(Qi(x), Qi(y), Qi(h))到F1和F2的距离之比，为(Qi(x), Qi(y),Qi(h))即多边形顶点的法向量。
图3 扫描线像素点法矢量线性插值示意图
Fig 3 Schematic of linear interpolation of the normal vectors of thescanline pixel
图3表征利用式（3.3-5）计算得到A，B，C的法矢量，分别对A、B及B、C插值，求出Q、R处的法矢量，再对Q、R插值求出P处的表面法矢量。即：
 (3.3-6)
 (3.3-7)
 (3.3-8)
式中： u1=AR/AB，u2=BQ/BC，u3=QP/QR。
同样，扫描线上任意像素点处的法矢量为：
（3.3-9）
式中：P1，P2为扫描线上两个连续的像素位置。博士论文，MC算法。
4 MC算法构建水压面精度分析
用MC算法构建的水压面精度较高主要表现在以下四个方面：
（1）用Shepard插值构建的NURBS水压面，通过选择、校核，调整型值点影响半径的取值，尽量减少了管网中加压泵站型值点对上游插值点的影响[3]，并且NURBS曲面具有能够精确表示二次曲面和曲线弧的优点，较精确地表现了水压面的趋势；分块多项式插值拟合克服了整体多项式插值拟合的缺点，减少了拟合点与实际点的震荡，有效提高了曲面的拟合精度；用MC算法基于这两种拟合曲面取点，可以有效的结合这两种曲面的优点。
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