论文导读：基于MC算法求得的交点视为来自总体的样本点。两种单一水压面构建方法。曲面能精确表示二次曲线弧与二次曲面。算法，一种基于移动立方体算法构建城市供水管网水压面的方法。
关键词：MC算法，水压面，NURBS曲面，分块多项式内插拟合曲面，最大似然估计，Phong算法
1 研究背景
城市管网压力面的精确模拟是供水系统运行监测、事故诊断和应急抢修的重要基础，目前已有的压力曲面构建方法中NURBS曲面和分块多项式内插拟合具有代表性。NURBS曲面能精确表示二次曲线弧与二次曲面[1]；分块多项式内插拟合时只需少量数据点配准，内插速度快，同时能保证分块件连接处为平滑连续曲面[2]。
但是，NURBS曲面除构建曲面时的型值点在曲面上之外，其他的原始数据都只能得到较好的逼近，而分块多项式内插拟合虽然一定程度上解决了多项式对整个管网进行插值时多项式的阶次越高拟合函数就越容易出现震荡的问题[2]，但由于多项式插值是x幂级数的和，在整个区间上，其值是由任意小的子区间上的值所确定的，当试图调整各个系数以便使和式在某几个点上取所希望的值时，在另外一些点上这些项的值却无法控制，这一性质使得震荡无法消除。
近些年，以移动立方体（MC）法为代表的等值面重构是一项热门研究，被广泛地应用于医学等值面模拟和金属探伤等方面，在以上两种水压曲面的基础上，结合MC算法构建市政给水管网压力面不失为一种新的尝试。
2 两种单一水压面构建方法
2.1 Shepard内插法构建NURBS管网水压面
信昆仑[3]等根据对城镇管网水力计算后的结果，以总水压值hi作为三维坐标的Z轴，以管网节点(xi, yi,hi)作为型值点在城市管网平面投影区域上进行Shepard插值，得到四边形网格上的水压数据,利用插值所得网格点数据作为型值点进行控制点的反算，利用反算得到的控制点构造出基于双三次B样条曲面片的NURBS曲面，即要求的水压面。该水压面的方程为：  (2.1-1)
式中: u,w∈[0,1]，p为控制点矩阵。
2.2 分块多项式拟合法构建管网水压面
采用多项式曲面拟合是一种经典的拟合方法。用多项式对整个曲面进行插值时多项式的阶次越高，拟合函数就越容易出现震荡，为有效地减少这种震荡，将整个曲面分块，分别定义不同的多项式曲面对每一块进行拟合[2]，这一方法已在地质模拟中得到较好应用，笔者将其运用于水压面的模拟，将整个水压面分块，分别定义不同的多项式曲面对每一块进行拟合，用三次曲面法，以管网中的某区域作为分块单元，构建双三次曲面方程如下：
  
(2.2-1)
为保证分块区域间水压面的连续和光滑性，从两相邻水压面扭矩连续，拼接处x及y方向斜率都应保持连续三个条件出发可以得到关于a1,a2,…,a16的方程，从而确定出待定系数a1,a2,…,a16。博士论文，MC算法。博士论文，MC算法。
3 基于移动立方体（MC）算法构建水压面
3.1 移动立方体（MC）算法简介
W.Lorenson[4]等于1987年提出基于体元的一种典型的三维表面模型重建算法。其基本原理是：把空间看作是由无数的小立方体（W.Lorenson称其为体元）构成的，等值面与其中一些立方体相交，在立方体内部得到三角形曲面片，MC算法保证从相邻的边缘立方体中提取三角曲面片，并能将这些曲面片很好的拼接在一起形成曲面。W.Lorenson通过分析三角形面片与体元八个顶点的拓扑关系建立了一个以八位二进制为索引值的查找表，一旦索引值确定，通过该表能够查询出与曲面相交的体元的边的序号，从而通过一定的插值方法求出曲面与体元的交点。
3.2 基于移动立方体（MC）算法定位拟合效果更佳离散点
3.2.1 求两单一曲面与MC立方体的交点
根据奈奎斯特采样定理当采样间隔Dx能使在函数F(x)中存在的最高频率中每周期取有两个样本时, 则采样数据可以完全恢复原函数F(x)。将这一采样定理从频率域应用于空间域[2]，基于上述MC算法，可将空间划分为无数个边长为δλ的小立方体，δλ=min[1/2f1,1/2f2]，其中f1, f2分别是NURBS曲面和分块多项式内插拟合曲面的频率。
令NURBS曲面为F1(x ,y)，分块多项式内插拟合曲面为F2(x ,y)，当x∈[xi,xi-1],y∈[yj,yj+1]时分别计算出F1(xi,yj)，F1(xi-1,yj)，F1(xi,yj+1)，F1(xi-1,yj+1)的值。令：
 （3.2-1）
 （3.2-2）
 （3.2-3）
 （3.2-4）
 （3.2-5） （3.2-6）
式中： n1，k表示曲面与x∈[xi,xi-1],y∈[yj,yj+1]空间内从k开始的n1个立方体相交。
此空间区域内分布的第k个立方体可表示为hk，其8个顶点分别是hk(xi ,yj)，hk (xi-1 ,yj)，hk (xi ,yj+1)，hk (xi-1 ,yj+1)，hk+1(xi ,yj)，hk+1 (xi-1 ,yj)，hk+1(xi ,yj+1)，hk+1 (xi-1 ,yj+1)并且有：
 （3.2-7）
图1定位更佳离散点示意图
Fig 1 Schematic ofLocalization of better discrete points
基于MC法分别比较第k, k+1,  ( k+ n1)个立方体的8个顶点与F1(xi ,yj)，F1(xi-1 ,yj)，F1(xi ,yj+1)，F1(xi-1 ,yj+1)的大小，将大于F1(x ,y)的立方体顶点标记为1，小于F1(x ,y)的标记为0，以此得到一个基于体元与曲面拓扑关系的8位二进制索引值，并查找MC算法的查找表得到与曲面相交的立方体的边。因为小立方体足够小，找到立方体与曲面相交的边时，交点默认为是立方体边的中点。
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