||≤N[(α+β-b)/(1-b)] n ||v 0 –u 0 || (6)
所以{u n },{v n }均为Cauchy列,再由E的完备性及定理1的证明知，B有唯一的不动点x * .把B(x * , x * )= x * 代入 B(u,v)=[A(u,v)-bv]/(1-b),u,v∈D，由x * =[A(x * ,x * )-bx * ]/(1-b), 易得A(x * ,x * )= x * .
再证不动点的唯一性.设y * 也是A在[u 0 , v 0 ]中的不动点,则仿上述证明由归纳法易得到u n ≤y * ≤v n ,令n→∞,得y * = x * .故x * 是A在[u 0 , v 0 ]中的唯一不动点.
最后在（6）式中令p→∞便得到误差估计式:
‖u n (或v n )-x * ‖≤N[(α+β-b)/(1-b)] n ‖v 0 -u 0 ‖
定理4 设P是实Banach空间E中正规锥，若二元算子A:D×D→E满足下列条件：
（i）u 0 ≤A(v 0 ,u o ), A(u o , v 0 )≤v o ;
（ii）存在常数β∈(0,1)，使得θ≤A(u,v)-A(v,u)≤β(v-u),当u 0 ≤u≤v≤v 0 时;
(iii)存在常数0≤b<1,b<.β<1使得b(v 1- v 2 )≤A(u 1 ,v 1 )-A(u 2 ,v 2 ),
当u 0 ≤u 1 ≤u 2 ≤v 0, u 0 ≤u 1 ≤v 1 ≤v 0 时；
则算子A(u,v)在D上有唯一不动点x * ,且有误差估计式：
||u n (或v n )-x * ||≤N[(β-b)/(1-b)] n ||v 0 -u 0 ||.
证明 类似于定理3的证明可得,略.
注1 本文定理3,4中令b=0可得定理1,2，拓宽了定理的适应范围.
注2 本文结论对算子A在连续性和紧性方面没有任何假定.
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