||v n -v n+p ||≤||v n -u n ||≤N(α+β)||v 0 –u 0 || (5)所以{u n },{v n }均为Cauchy列,由E的完备性知，存在u * ,v * ∈E 使
u n →u * , v n →v * ,(n→∞) ,且u n ≤u * ≤v * ≤v n .
再由θ≤v * -u * ≤v n -u n ≤(α+β) n (v 0 - u 0 )与锥P的正规性,易知u * = v * = x * ∈D
由u n ≤u n+p ≤v n 令p→∞,得u n ≤x * ≤v n n=1,2,3…
又由u n+ 1 ≤A(v n ,u n )≤A(x * , x * )≤A(u n ,v n )=v n+ 1 ,令n→∞，得A(x * , x * )=x *
再证不动点的唯一性.设y * 也是A在[u 0 , v 0 ]中的不动点，则仿上述证明由归纳法易得到u n ≤y * ≤v n ，令n→∞, 得y * = x * .故x * 是A在[u 0 ,v 0 ]中的唯一不动点.
最后在（5）式中令p→∞便得到误差估计式(2).
定理2 设P是实Banach空间E中正规锥，A：D×D→E是反向混合单调算子，若存在常数β∈(0,1),使得
（I）u 0 ≤A(v 0 , u 0 ), A(u 0 , v 0 )≤v 0;
（II）A(u,v)-A(v, u)≤β(v-u)，当u 0 ≤u≤v≤v 0 时
则反向混合单调算子A在D上有唯一不动点x * , 构造迭代序列
u n+ 1 = A(v n ,u n ), v n+ 1 = A(u n ,v n ), n=0,1,2,3…
都收敛于x * ，且有误差估计式：||u n (或v n )-x * ||≤Nβ n ||v 0 -u 0 ||.
证明 仿定理1的证明易得,略.
3、应用
当算子A非反向混合单调算子时，应用上面的结果可得到如下的结论.
定理3 设P是实Banach空间E中正规锥，若存在常数α,β∈(0,1),
b∈[0,1],b<α+β<1.使得二元算子A:D×D→E满足下列条件：
(i) u 0 +α(v 0 -u 0 )≤A(v 0 ,u o ),A(u o , v 0 )≤v o ；
(ii) θ≤ A(u,v)-A(v,u)≤β(v-u), 当u 0 ≤u≤v≤v 0 时；
（iii）b(v 1- v 2 )≤A(u 1 ,v 1 )-A(u 2 ,v 2 ),当u 0 ≤u 1 ≤u 2 ≤v 0, u 0 ≤v 2 ≤v 1 ≤v 0 时；
则算子A(u,v)在[u 0 ,v 0 ]上有唯一的公共不动点x * .且有误差估计
||u n (或v n )-x * ||≤N[(α+β-b)/(1-b)] n ||v 0 -u 0 ||
证明 令B(u,v)=[A(u,v)-bv]/(1-b),u,v∈D. 由条件(i)知
B(v 0 ,u 0 )=[A(v 0 ,u 0 )-bu 0 ]/(1-b)≥[u 0 +α(v 0 -u 0 )-bu 0 ]/(1-b)=u 0 +α(v 0 -u 0 )/(1-b)B(u 0 ,v 0 )=[A(u 0 ,v 0 )-bv 0 ]/(1-b)≤(v 0 -bv 0 )/(1-b)=v 0
B(u,v)-B(v,u)=[A(u,v)-bv]/(1-b)-[A(v,u)-bu]/(1-b)
≤[β(v-u)-b(v-u)]/(1-b)=(β-b)(v-u)/(1-b)u 0 ≤u≤v≤v 0
又由（iii）知，对任给的u 1 ≤u 2, v 2 ≤v 1, u i ,v i (i=1,2)∈[u 0 ,v 0 ]
B(u 1 ,v 1 )-B(u 2 ,v 2 )=[A(u 1 ,v 1 )-bv 1 ]/(1-b)-[A(u 2 ,v 2 )-bv 2 ]/(1-b)
=[ A(u 1 ,v 1 )-A(u 2 ,v 2 )]/(1-b)-b(v 1- v 2 )/(1-b)≥b(v 1- v 2 )/(1-b)-b(v 1- v 2 )/(1-b)=θ
所以B(u 1 ,v 1 )≥B(u 2 ,v 2 ),即B是反向混合单调算子。论文参考网。论文参考网。
构造迭代序列u n+1 =B(v n ,u n )-α(v n -u n )/(1-b),v n+1 =B(u n ,v n )n=1,2,3…
类似于定理1的证明得 || u n+p -u n ||≤|| v n - u n ||≤N[(α+β-b)/(1-b)] n ||v 0 –u 0 ||
|| v n -v n+p ||≤|| v n - u n 2/3 首页 上一页 1 2 3 下一页 尾页 |
