  ，可见， 也为实正规矩阵，又因为 是对称正定矩阵，故存在对称正定矩阵 ，使得 ，这是就有
必要性 如果 是正定矩阵，那么 也是正定矩阵，就有的特征值的实部为正，而的特征值实部为正，又因为是正规矩阵，所以是正定矩阵。
充分性 如果是正定矩阵，那么的特征值实部为正，从而的特征值实部为正，又    
     ，所以为正规矩阵，故为正定矩阵，从而为正定矩阵。
为了进一步研究矩阵乘积的性质，我们引入广义对称矩阵的概念:
定义 设 ，若存在对称正定矩阵 ，使得 ，则称为广义对称矩阵，记作 。
引理 为广义对称矩阵的充分必要条件是相似于实对角矩阵。
引理 广义对称矩阵的特征值都是实数。
定理6 若 是对称正定矩阵，是对称矩阵，则是正定矩阵的充分必要条件是 。论文格式。
证明 由和都对称可得 ，从而 ，又有 ，故是广义对称矩阵，由引理4知 为实数，再由定理1知命题成立。
定理7 若是正定矩阵， 都是对称矩阵，若是正定矩阵，则的特征值为正实数。
证明 因为是对称正定矩阵，且可得 ，故由定义1知是广义对称矩阵。由引理3和引理4可知，存在可逆矩阵 ，使得
其中 为的特征值且为实数，因为是正定矩阵，故 。
注 定理7的逆命题是不成立的，即使都是对称正定矩阵且 ，也未必是正定矩阵。
如 ， ，都是对称正定矩阵，
 的特征值为 ，但显然不是正定矩阵。
参考文献：
[1] 陈祖明，周家胜。矩阵论引论[M]。北京：航空航天大学出版社，1998。
[2] 郭忠。矩阵正定性的判定及线性方程Ax=b的反问题求解[J]。.科学通报,1987 (2):95-98。
[3] Ying Qingxiang.On Positive Definite Real Square Matrice[J].Mathematics in practice and theory,2001(2):245-247
[4] 纪云龙。广义正定矩阵的判定[J]。 长春工业大学学报：自然科学版，2002（3）：56-57。
[5] Yang Shichun. Onthe Generalized Positive Definite Matrices[J].Mathematics in practice andtheory ,2005(5):146-150.
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