定理4 设为对称正定矩阵，为正定矩阵，且，则为正定矩阵。
证明 设，其中和分别是的对称分量和反对称分量，因为
，且，故有
故恰是的对称分量，又，又是对称正定的，故也是对称正定的，因此是正定矩阵。论文格式。
注1 是充分而非必要条件，即若 为对称正定矩阵，为正定矩阵，且都是正定矩阵，但，如
，，
则，
可以验证都是正定的，但。论文格式。
2 至少有一个是对称的条件不可缺少，即均为正定矩阵，且，但可能不是正定的。如，，则
，从而不是正定的。
定理 设是实正规矩阵，是对称正定矩阵，且，则是正定矩阵的充分必要条件是为正定矩阵。
证明 首先，由于
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设
都是对称正定矩阵，则
是对称正定矩阵的充分必要条件是
。
为对称正定矩阵，
为正定矩阵，且
，其中
和
分别是
，故有
恰是
，又
都是正定矩阵，但
，如
，
，
，
，
，从而
设
