论文导读：离散卷积和计算在线性系统的分析中占有非常重要的地位。本文从离散时不变线性系统的几个约束条件出发，导出了一种计算方法。这种方法具有计算过程简单、速度快效率高，出错率低的特点，同时计算过程还直观地体现了离散卷积和的物理意义。
关键词：信号处理,卷积和计算方法
线性系统分析的中心问题是系统输入与输出的关系。对于离散时不变线性系统，输入与输出的关系用输入对系统单位冲激响应的离散卷积和来表征，因此离散卷积和计算在线性系统的分析中占有非常重要的地位。目前通行的方法是采用反折、平移、相乘与求和等4个步骤来计算,因此，在计算过程中要反复平移反折序列，甚至还要作图，在手工计算的情况下，显得极为繁琐，工作量大，并且容易出错。但是在有些情况下却离不开手工计算。为此，本文从离散时不变线性系统的几个约束条件出发，导出了一种计算方法。这种方法不但适合于手工计算，而且计算过程还能直观地体现离散卷积和的物理意义。
1.离散时不变线性系统的输入输出关系
时域离散系统是将输入映射为输出序列的一种变换，即 。对T[]的不同约束条件定义了不同的离散系统。它的一般形式如图1。
图1
如果离散系统的输入序列为 和 时，其相应的输出序列分别为 和 ，那么，系统在 输入下能保证输出为 ,其中a和b为任意常数，则系统为线性系统。也即线性系统的约束条件为
时,则线性系统满足齐次性和叠加性。
如果线性系统的输出序列随输入序列的移位而移位，但形状不改变，则称为线性时不变系统。这种性质可表示为：若，则 。
现在来研究线性时不变系统的输入输出关系。
任意一个序列可表示为单位冲激序列 及其移位的线性组合，即
将 作为线性时不变系统的输入，则系统的输出为
由于系统是线性的，应用叠加性和齐次性，则
令系统对单位冲激序列的响应为 , 再由系统的时不变特性，有
 (1)
它表征了离散时不变线性系统的输入输出关系。通常称（1）式为离散卷积和公式，并称y(n)是对h(n)的离散卷积和，记为 。
若对m采用换元m’=n-m,则（1）式中x(m)与h(n-m)的位置可以交换，即
 (2)
上式表明离散卷积和服从交换律[2]。
2.离散卷积和的计算方法
为方便计，假设输入序列x(n)与单位冲激响应序列h(n)均为有限长序列，x(n)的长度为M,h(n)的长度为N，即
根据离散卷积和公式（2），得 （3）
现从直观的物理意义出发，讨论线性时不变系统离散卷积和的一种计算方法。h(n)是单位冲激信号瞬间作用下系统的输出。一般地，h(n)均具有一定的长度，这说明，由于系统的惯性，对作用于系统的瞬时信号，系统的输出具有拖尾效应，也就是说，不但在作用的瞬间有输出值，而且在其后的各时刻也有相应的输出值。齐次性表明，当输入信号放大某个倍数时，系统的输出也放大相同的倍数。输入序列中的x(0)可以看作强度为x(0)的冲激信号，它相对于单位冲激信号放大了x(0)倍，其相应的输出也放大x(0)倍。因此，序列值x(0)作用下的响应为 ，将其列写在第一行(见图2)。同理，序列值x(1)作用下的输出为 ，列写在第二行。由于讨论的是时不变系统，时不变特性表明，当输入信号移动某个时间单位时，其输出也要移动相同的时间单位。这里x(1)相对x(0)右移了一个单位，因此，在列写第二行时，相对第一行要右移一列。
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