论文导读：本文对某些矩阵的乘积的正定性作一些探讨，给出其正定的一些判别。 关键词：正定矩阵，特征值
文献[1]给出了两个对称正定矩阵的乘积是对称正定矩阵的充分必要条件是，两个正定矩阵的乘积未必是正定矩阵。两矩阵的乘积是正定矩阵的充分必要条件是什么，本文对某些矩阵的乘积的正定性作一些探讨，给出其正定的一些判别。
引理 阶实矩阵对称正定的充分必要条件是存在阶实对称正定矩阵，使得。
引理 设是阶实正规矩阵，且它的特征值都具有正的实数部分，则为正定矩阵。
定理1 设，若是对称正定矩阵，且，则是正定矩阵的充分必要条件是的特征值的实数部分大于零，记作。
证明 因为是对称正定矩阵，由引理1，存在对称正定矩阵，使得，易知也是对称正定矩阵。
必要性 因为是正定矩阵，故也是正定矩阵，从而，又相似的矩阵有相同的特征值，故。
充分性 若，则，因为
容易验证,因此是实正规矩阵，由引理2，是正定矩阵，进而有是正定矩阵。
定理2 若是正定矩阵，都是对称矩阵，且，则是正定矩阵的充分必要条件是的特征值大于零，记作。
证明 由容易验证，由是实对称矩阵可知为实数，故由定理1立即得出结论。
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的乘积是对称正定矩阵的充分必要条件是
，两个正定矩阵的乘积未必是正定矩阵。两矩阵的乘积是正定矩阵的充分必要条件是什么，本文对某些矩阵的乘积的正定性作一些探讨，给出其正定的一些判别。
阶实矩阵
对称正定的充分必要条件是存在
，使得
。
设
，若
，则
。
，使得
，易知
也是对称正定矩阵。
也是正定矩阵，从而
，又相似的矩阵有相同的特征值，故
,因此
是实正规矩阵，由引理2，
是正定矩阵。
都是对称矩阵，且
。
为实数，故由定理1立即得出结论。