| 这时，各层对应的弹性材料剪切模量分别为：
 （9）
 （10）
 （11）
其中上标e表示弹性材料。
该裂纹问题的边界条件为：
 （12）
 （13）
 （14）
 （15）
 （16）
其中式（14）的上标（1）和（2）分别表示FGM界面层内裂纹的上下侧材料。
在反平面剪切状态下，平衡方程为：
 （17）
弹性材料的本构方程为：
 ,  （18）
将式（18）代入式（17）并作关于坐标x的Fourier变换得：
 （19）
式中，Fourier变换定义为 。
将式（9）~（11）代入方程（19）可得其解析解：
 （20）
其中, ， ， 、 、 和 均为关于 的未知函数。
对式（20）作Fourier反变换并应用本构方程（18）得：
  （21）
 （22）
为了得到奇异积分方程，引入位错密度函数：
 （23）
对 有连续性条件：
 ， （24）
由式（12）~（16）以及式（21）~（24）可以得到Cauchy奇异积分方程和位移单值条件方程：
 （25）
其中， 为裂纹处材料的初始剪切模量， ， ， ， ， 的具体形式见附录。
弹性材料的Ⅲ型应力强度因子定义为（以裂纹右尖端为例）：
  （26）
函数 在 处具有平方奇异性，因此可以将其表示为：
 （27）
将 被 标准化处理，并由式（26）可得：
 （28）
由式（23）和（27）可得，裂纹张开位移为：
 （29）
根据Erdogan提出的配点法可以求得方程组（25）的数值解，进而得到 和 。
2.2粘弹性解
由FGM的粘弹性对应原理，Ⅲ型应力强度因子和裂纹张开位移的粘弹性解分别为：
 （30）
 （31）
其中， 和 分别是 和 的Laplace变换，p是变换参量， 表示Laplace反变换。
3结果与分析
计算时，设定 、 以及 ，下文图3~图7中 。函数和分别取为： 和 ，其中 和 分别是材料（3）的初始和稳态模量， 和 均为时间常数。另外，将应力强度因子和裂纹张开位移分别无量纲化： ， 。
3.1应力强度因子
由图2可知，对于裂纹靠近FGM界面层中间位置时（ ）的情形，在不同 条件下，随着l的增大，0时刻的应力强度因子先迅速减小后趋于稳定。当 时，对应力强度因子的影响较明显，其中越大，应力强度因子越小。
由图3可知，裂纹位置对应力强度因子的影响显著。其中l较小时，裂纹位置越靠近FGM上端，应力强度因子越小，而l较大时应力强度因子的变化趋势则相反。
图2不同均质材料初始模量比时应力强度因子随l的变化
Fig.2Variationsofstressintensityfactorswithlfordifferentinitialrelaxationmodulusratesofhomogeneousmaterials
图3不同裂纹位置时应力强度因子随l的变化
Fig.3Variationsofstressintensityfactorswithlfordifferentcracklocations
图4应力强度因子随时间 的变化
Fig.4Variationsofstressintensityfactorswith
由图4可以看出，随着时间的推移，不同l影响下应力强度因子始终保持一定的差距，并且按加载函数（指数）形式减小。当 时，三种情况下的应力强度因子均减小到0.6以下。
由以上各图可知，在不同的以及裂纹位置影响下，l对应力强度因子的影响规律也不同。由式（7）可知，FGM等效非均匀性参数 和 成正比，即l是通过影响进而影响应力强度因子。注意到图3中三条曲线在 处近似交于一点，因为这时 ，三种情况下裂纹都可看成置于均质无限长的板条之中，仅位置有所不同，此时应力强度因子差别很小。由以上分析可知，在和裂纹位置一定的情况下，可以通过控制FGM两侧均质材料的松弛模量时间因子比值来减小裂纹的应力强度因子，从而提高材料的抗断裂能力。 2/3 首页 上一页 1 2 3 下一页 尾页 |
