涂层结构中温度场的边界元解_高阶几何单元-论文网

时间：2013-09-11 作者：张耀明,谷岩

在关键的涂层域计算中，采用二次单元逼近边界，使得准确计算超薄的涂层结构成为可能。基于规则化边界积分方程有效地计算了求解边界量时涉及的奇异积分。针对计算内点物理量及边界量时遇到的几乎奇异拟奇异积分，采用一类通用的非线性变量替换法，有效地改善了被积函数的震荡特性，从而成功地消除了积分核的几乎奇异拟奇异性，在不增加计算量的情况下，极大地改进了几乎奇异拟奇异积分的计算精度。数值算例表明，本文算法稳定，效率高，即使涂层的厚度达到纳米级，依然可获得准确的解。
1等价规则化边界积分方程
本文设

是

中的一个有界区域，

是其补域，

是它们的边界。文给出了等价的间接变量规则化边界积分方程

(1)

(2)

(3)
其中

为基本解，

为待定密度函数，

0为体函数。对内域问题，

；对于外域问题，

。

分别是区域

的边界

在

点处的单位切、外法向量。
计算内点位势与梯度的积分方程是

(4)

(5)
处理涂层结构问题时，必须使用分域法，因为不同区域由不同的材料构成。将整个区域分为

和

两个子域，

是它们的共同边界，其热传导率分别为

和

，如图12所示。定义分域

上的参量：

—边界

上的节点处的位势与法向梯度；

—

作为分域

的边界时，其上的节点处的位势与外法向梯度。分域

上的参量：

—边界

上的节点处的位势与法向梯度；

—

作为分域

的边界时，其上的节点处的位势与外法向梯度。
假设边界

，

上节点的位势已知，则在

可建立如下矩阵方程

(6)
同理，则在

可建立如下矩阵方程

(7)
对于适定的边值问题，或者边界上的温度已知或者温度梯度已知。边界离散化后，每个节点上都会产生一个代数方程，方程的个数与节点处待求密度函数的个数相同，因而可以数值求解。分域法将区域

与

看成两个独立的问题来处理，但在

和

的共同边界

上，温度与温度梯度都是未知的，边值问题可解，必须满足以下协调条件

(8)
根据条件(8)，式(6)和(7)可合并成

(9)
式(9)即为涂层结构温度场边界元法的基本列式。通过式(9)，可求出

与

边界上的节点密度，进而可以利用内点积分方程(4)，(5)求出内点的物理参量。
对于涂层区域

，边界节点通常和某些积分单元十分的接近，使得式(2)、(3)中的积分产生不同程度的几乎奇异拟奇异性，常规高斯积分结果失效，导致待定密度函数解失真，无法进一步求解内点物理量。求内点物理量时，由于域内点通常都是近边界点，因此方程(4)、(5)中的积分具有不同程度的几乎奇异拟奇异性。
方程(2)-(5)中的几乎奇异拟奇异积分可表示为

(10)
这里

是规则函数，

。
2涂层结构边界

的二次单元逼近
为了更准确地描述涂层域的边界，采用二次几何单元模型。取单元

的端点

和内点

作为插值结点，则单元

可以表示为

其中

.
定义

为场点

到边界

最短距离的投影点，也称为拟奇异点，的局部坐标，则场点到边界单元的距离可以表示为

(11)
其中

，

根据(11)式，式(10)中的

和

可表示为

(12)
其中

是规则函数，

的函数。
3几乎奇异拟奇异积分的变量替换法
经整理，(12)中的积分可归结为

(13)
对(13)式右端的积分作变量替换

(14)
其中

。于是(13)式的积分可以写为

(15)
式(15)中的积分核已不具有几乎奇异拟奇异性，可以通过标准的高斯积分公式准确地计算。
4数值算例
例1圆环涂层结构材料的热流问题，基体内径为

，外径为

；涂层外径为

，如图23所示。已知基体内表面温度为

，涂层外表面温度为

。基体导热率为

，涂层的导热率为

。
由对称性，研究

部分，内边界划分8个二次单元，外边界划分15个二次单元，公共边界

划分15个二次单元，直线边界均分别划分2个二次单元，共计46个单元。边界函数均采用二次不连续插值逼近。

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