| (a)(b)
图4.在G2处的电子能量分布及能量高于eVG2P的电子的积分（图中灰色区域）。其中（a）、（b）对应两个不同的加速电压下的情况。
由于在不同的加速电压下，G2处的电子能量分布曲线不同，因此这个积分也不同。加速电压的连续变化物理论文物理论文，导致G2处电子能量分布曲线的连续变化，进而导致积分值的连续变化，而且随着加速电压的逐渐增大不断周期变化，于是表现在Franck-Hertz曲线上就是极电流有规律的波动变化。这就是我们对Franck-Hertz实验主要物理过程的直观描述。
Ⅳ、峰间距增大
前面我们在暂时忽略一些因素的情况下，得到了对这个实验的主要物理过程的直观描述。接下来，我们要引入更多因素，进一步接近实验的真实物理过程，并解释峰间距变大的实质。
4.1峰间距增大的实验现象
下面的讨论主要以图2的实验曲线为基础展开。如前所述，我们可以测得图2中实验曲线的峰间距随着加速电压的逐渐增大，从一开始的4.7V逐渐增加到5.3V，平均的峰间距是5.0V（见图5）。需要说明的是，我们认为实验曲线的第n峰对应电子能量分布曲线大约经过了n个周期的变化，如第18个峰对应电子的能量分布曲线经历了18次周期变化，以此类推。在每一周期中，电子的能量都在0到U0之间变化，对应于电子发生一次完整的加速和非弹性碰撞过程，即两次相邻的非弹性碰撞之间的全过程。
图5.峰间距与峰数n的关系。（T=170℃,VF=1.6V，VG1K=1.0V，VG2P=－1.9V.）图中第n个峰间距是第n峰与前一峰之间的峰间距。
4.2额外加速程
我们不能保证电子一旦加速到汞原子第一激发态的能量时，就立刻能与汞原子发生非弹性碰撞而激发汞原子，因而电子在达到汞原子某激发能之后到激发该能级之前，会“走”过一段额外的加速路程，我们用“额外加速程”来表示。“额外加速程”是指电子达到汞原子某激发能级之后到激发该能级之前这个过程中的额外定向加速距离的平均值。需要特别注意的是，额外加速程是沿加速电场方向的定向距离。借鉴平均自由程的定义，额外加速程可以表述为
l=cosθ·kBT/σp
其中kB是玻尔兹曼常数，T是绝对温度，σ是激发截面，p是汞蒸气压强，其近似值为 [1]。表达式中的cosθ就表明额外加速程是额外运动距离在加速电场方向上的投影。可见，额外加速程取决于各能级的激发截面，也与汞蒸气浓度或者说温度有关。为了简单起见，我们以下取三个较低激发态（63P0,1,2）的总激发截面（即不分开考虑63P0,1,2）物理论文物理论文，并认为在一定的温度下，额外加速程可以视为不变。
虽然在相同的温度下，额外加速程不变，但是电子在“额外加速程中获得的能量”（用“Ue”表示）是随加速电压而变的。加速电压越大，G1G2之间的加速电场越强，在额外加速程中电子积累的额外能量也就越大。
4.3剩余能量
为了估计电子在发生非弹性碰撞当时所具有的能量，我们设置不同的反向电压，而维持其它条件不变，得到了图6所示的结果。图中可以看到，在第18个峰时，电子发生非弹性碰撞当时所具有的平均能量应在5.5eV和6.0eV之间。方便起见，我们取电子发生非弹性碰撞当时所具有的能量为5.7eV，也就是说，电子在额外加速程中积累的能量为1.0eV。
另一方面，电子发生一次非弹性碰撞平均损失的能量（用“Us”表示），数值上等于此前所有峰间距的平均值。在18峰处就是5.0eV。这样一来，电子发生非弹性碰撞当时所具有的能量高于在碰撞中损失的能量。这就说明电子在非弹性碰撞之后还有约0.7eV的剩余能量。
图6.不同反向电压下的实验曲线（反向电压分别为?4.7V，?4.9V，?5.5V，?6.0V和?6.7V，T=170℃。其它条件相同。）
我们可以通过一个简单计算对此作进一步的说明。根据加速距离与电子在相应加速距离中获得的能量成正比的关系，可以得到：
 (1)
其中，l为额外加速程，LG1G2是G1G2之间的距离，本实验仪器为5.0mm，n是峰数，两者之比是发生一次周期变化（也是一次非弹性碰撞）所对应的电子在管中的运动距离。在第18峰处，电子一次非弹性碰撞的能量损失Us为5.0eV，而在额外加速程中积累的能量Ue为1.0eV。由此我们得到在温度为170℃的情况下，电子的额外加速程约为0.056mm，相应地总激发截面就是cosθ×13×10-20m2。对比于参考文献[4]中的激发截面图（图7），可以看到图中给出的总激发截面约在5×10-20m2。如果cosθ的数值在0.4左右物理论文物理论文，那么两者将会符合得非常好。而cosθ取0.4左右是合理的。这表明剩余能量的存在能与其它实验结果吻合。
现在的问题是，为何有剩余能量存在？
图7.汞原子三个能级63P0,63P1,63P2的激发截面[4]。
4.4多能级共同激发
有剩余能量的原因是电子在激发汞原子时只转移走与激发态相应的能量，而不是电子发生非弹性碰撞当时具有的所有能量。
图8.汞原子的几个较低能级[1]。
图8是汞原子部分能级图，在我们的实验条件之下，参与实验过程的主要是63P0,1,2这三个能级。相应地，电子通过激发汞原子发生的能量改变有三种可能性即4.67eV，4.89eV或5.46eV，分别对应这三个激发态。电子发生非弹性碰撞，如果碰撞前它的能量是4.8eV，那么在碰撞后转移走4.67eV。如果其碰撞前的能量是5.6eV，那么能量转移可能是4.67eV，4.89eV或5.46eV。总之，在非弹性碰撞中电子并没有失去所有的动能，碰撞后电子还有剩余能量，因而碰撞后电子的再次加速也不是从零开始。
Ⅴ、我们的新模型
下面我们运用前面的分析结果，完整地描述一下Franck-Hertz实验的物理过程。在加速电压较小的时候，如果电子在额外加速程中积累的能量小于0.22eV（即4.89eV与4.67eV之差），在这种条件下，起主导作用的是63P0这个激发态。此时电子发生一次非弹性碰撞的能量损失就与4.67eV接近。随着加速电压逐渐增大，63P1激发的比例会上升。当额外能量达到0.79eV时，63P2的影响又会大大增加。也就是说，随着加速电压的逐渐增加，发生较高能级激发的电子的比例会增加。同时各激发只转移该激发态对应的能量。所以发生各能级激发的权重将最终决定该加速电压下电子发生一次非弹性碰撞的能量损失Us，进而决定Franck-Hertz曲线的峰间距变化。即有：
 ,(2)
其中α，β，和γ分别为三种激发的权重。当然，考虑到不同的激发截面和激发能，要具体确定α，β，和γ是很困难的。但可以肯定的是随着加速电压的增加，α值持续减小，而γ值持续增大物理论文物理论文，因此Us必定增大。最终导致峰间距持续增大。
最后简单说明一下，根据我们的实验结果，式（2）在温度范围160℃与180℃之间较为适用。对于更低的温度，额外加速程会迅速增大，这会导致更多高能级作用的明显增大，如61P0（6.70eV）[5]。而对于更高的温度，我们测定的实验曲线的第一个峰间距往往在4.0eV左右，这可能是由于其他原因导致的，如Heddle曾预言的6s6p2 4P1/2,3/2,5/2汞负离子共振态[6]。这方面的讨论已经超出了本文的范围。
Ⅵ、总结
我们首先通过分析Franck-Hertz实验中电子能量分布曲线的动态变化过程，直观地解释了Franck-Hertz曲线的规律性波动现象。我们注意到电子能量在达到原子的某激发态时，非弹性碰撞不一定马上发生，由此我们定义了电子的额外加速程。一方面电子在额外加速程中积累的能量使电子有机会去激发原子的较高能级，而且该能量的增加使发生较高激发的比重增大。另一方面，电子激发原子只是失去该激发态所需的相应能量，也就是说在非弹性碰撞后电子还有剩余能量。因此最终决定峰间距变化规律的不是电子发生非弹性碰撞当时的能量，而是与电子激发原子可能到达的各激发态的权重变化有关。由于随加速电压的增加，较高激发的权重增加，所以电子发生一次非弹性碰撞的平均能量损失必然增大，反映在实验结果上就是Franck-Hertz曲线峰间距的持续增大。我们认为这就是在Franck-Hertz管中发生的实际物理过程。
致谢
感谢复旦大学物理教学实验中心的潘正元为实验的开展提供技术支持，以及乐永康的许多有益的讨论。同时也要感谢实验组的孙午炯、杨程、田岱、眭孟乔等，与他们的讨论富有启发性。
参考文献
[1]G. Rapior, K. Sengstock, V.Baev, ‘New features of the Franck-Hertz experiment,’ Am. J. Phys. 74(5), 423-428 (2006).
[2]http://phylab.fudan.edu.cn/doku.php
[3]F. H. Liu, ‘Franck-Hertzexperiment with higher excitation level measurements,’ Am. J. Phys. 55, 366-369(1987).
[4]G. F. Hanne, ‘What reallyhappens in the Franck-Hertz experiment with mercury,’ Am. J. Phys. 56,696-700 (1988).
[5]S. J. Buckman, C. W. Clark,‘Atomic negative-ion resonances’, Rev. Mod Phys. 66, 539 (1994).
[6]D. W. O. Heddle, ‘Resonancesin electron-mercury scattering’, Journal of Physics B: Atomic and MolecularPhysics, 8 (4), L33 (1975).
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