论文摘要：以均匀化理论为基础，将各向同性蜂窝状微孔结构作为材料描述方式，提出了基于空间连续尺寸场的动态均匀化方法,克服了动态优化中的局部模态现象。不同于将微孔结构尺寸变量依附于单元或节点，采用物质点对应的微孔尺寸作为设计变量，基于修正过滤公式的形函数，构造了空间连续的尺寸场，克服了棋盘格等数值不稳定性问题。基于复合函数求导法则，推导了总刚度阵、总质量阵等敏度表达式。以动态结构响应量最小化或最大化为目标，体积比为约束，建立了动态结构拓扑优化模型，通过二维结构数值算例对理论方法进行验证。结果表明，方法在连续体结构动态拓扑优化设计中具有可行性和有效性。
论文关键词：拓扑优化,均匀化理论,连续体结构,频率优化,过滤函数
引言
近年来受结构静力拓扑优化发展的推动，结构动力拓扑优化研究方面取得了一定的进展。早期的动力学拓扑优化研究均采用了均匀化方法。Xie等提出的渐进式优化方法在此方面也有所应用。单元变密度方法在结构动态拓扑优化中存在着局部模态现象。它指在采用固体各向同性惩罚微结构(solidisotropicmicrostructureswithpenalization,SIMP)材料插值模型下，在低密度区出现的模态，而这些模态影响了优化收敛的稳定性。针对此问题，Pederson采用修正刚度阵将质量刚度比限制在一定范围内。朱继宏等将该现象归结为SIMP模型对空洞区域刚度描述的不合理性，并采用“口”型微结构取得了理想的优化结果。彭细荣等基于拓扑变量的独立性同时惩罚单元刚度阵与质量阵，从而避免局部模态现象。
相对于结构固有频率拓扑优化问题，动响应拓扑优化的研究进展则更为缓慢。Ma等最先建立了无阻尼结构谐响应下拓扑优化模型。针对周期激励下的拓扑优化问题，Jog提出一个动态柔顺度性能指标，该指标不仅适用于有阻尼结构，且优化模型具有减振降噪的作用。Du等以声压最小化为目标建立拓扑优化模型，讨论了不同激励频率下平板的拓扑优化结果。隋允康等推导了频率响应位移幅值敏度分析的伴随法，实现了该约束条件下的体积最小拓扑优化设计。
大多数的拓扑优化结果普遍存在着棋盘格和网格依赖性等数值不稳定性问题。以节点属性作为设计变量，通过构造空间连续变量场的方法从优化数学模型上来克服棋盘格现象。Matsui和Terada提出了节点均匀化法。与之类似，Rahmatalla等提出节点变密度法。Glaucio等提出了获得高分辨率拓扑优化结果的改进节点变密度法。Belytschko等基于构造空间连续设计变量场的思想提出了拓扑描述函数法。
为克服局部模态现象，提出采用各向同性蜂窝状微结构作为材料描述模型；以物质点对应的微孔尺寸为设计变量，通过构造空间连续尺寸场消除各类数值不稳定性问题。最后通过二维动态拓扑优化数值算例考察方法的可行性和有效性。
1复合材料的均匀化理论
均匀化理论是通过引入微孔结构来求解材料的宏观特性参数，寻求一种用宏观量来表达微观量变化特征的方法。设 为一小量，代表微观尺度与宏观尺度度量之比，x和y分别为材料宏观和微观尺度量度，且 。弹性常数表达为
 (1)
 依赖于宏观量x和微观量y，将其展开为的渐进式为
 (2)
对于复合材料，将位移表达式代入到平衡方程中，即可得到均匀化弹性张量表达式为
 (3)
即
 (4)
在均匀化拓扑优化方法中，常见平面微孔结构包括矩形微孔结构和蜂窝微孔结构等。这里采用如图1所示的蜂窝微孔结构，此类微孔结构具有近似的各向同性性质，能够简化拓扑优化求解中微孔结构的空间方位角确定的问题。假设微孔结构尺寸参数为r，微孔结构相对密度与尺寸变量的关系为
 (5)
图1蜂窝微孔结构
Fig.1honeycombmicrostructure
为了计算不同微孔尺寸下对应的材料特性，采用如图2所示的网格离散模型。根据式(4)可数值计算出不同的弹性常数。在此基础上，采用最小二乘法拟和得到材料特性曲线。设实心材料的弹性模量210GPa，泊松比0.3，密度7800kg/m，蜂窝微孔结构相对密度与弹性张量分量之间的关系如图3所示。
图2蜂窝结构离散模型
Fig.2FEmeshforthehoneycombcell
图3密度与弹性常数间的关系
Fig.3therelationshipbetweendensityandelasticityconstants
引起局部模态的原因之一是在低密度区域单元质量刚度比过大。在SIMP模型中，单元刚度阵和质量阵分别为 ， 。其中p为惩罚因子， 和 分别为固有单元刚度阵和质量阵。由于仅对刚度惩罚，低密度单元质量大而刚度小，当单元密度趋于零的极端情况下，质量刚度比趋于无穷大。这里设惩罚因子p=3，当相对密度 时，相对弹性质量与相对弹性模量的比值为 。均匀化理论中的材料密度和弹性系数是一种“真实”的物理关系。同样采用上述数据，各弹性系数相对值与密度的比值为 ， ， ， 。由上述两种方法下的密度与弹性系数比值对比可知，均匀化法采用微结构替代了变密度法中假设函数关系，合理近似了空洞材料的刚度，使低密度区域的质量刚度比值保持在一定范围内，从而能自然避免局部模态现象。
2空间连续尺寸场
龙凯等指出基于低次单元形函数构造了空间连续密度场的不足之处。首先，空间变量场连续而不光滑，无法完全抑制棋盘格现象和消除网格依赖性。其次，结构分析方法必须采用有限元法，节点变量数量和位置受到离散网格的限制。 1/3 1 2 3 下一页 尾页 |
