论文导读:：提出了一种研究折板及多面板类结构非线性弯曲行为的样条核质点法。方法包括以下步骤：（1）将折板及多面板结构模拟成不同平面上平板的集合体；（2）基于冯·卡门的大挠度理论，使用一阶剪切变形理论和样条核质点法先分析各平板的几何非线性行为；（3）将经过修正的各板的非线性刚度矩阵叠加得到整个折板结构的非线性刚度矩阵；（4）研究整个结构的几何非线性行为。由于摆脱了网格的束缚，本文方法可以避免网格扭曲引起的网格重构问题。文末通过几个算例将本文方法解与使用壳单元的ANSYS有限元解或已有文献解进行对比，验证了本文方法的收敛性和准确性。
论文关键词：折板，多面板，非线性弯曲，样条核质点法，无网格
0 引言
折板及多面板常见于屋盖、夹层板核以及冷却塔上，它们有着构造简单、刚度—重量比高的突出特点，是工程中普遍使用的一种结构，其力学性能的研究也受到了国内外学者广泛关注。折板虽然简单，但它的分析模型经历了从简单到复杂，由粗糙到精确的演化过程，早期的梁模型由于近似简化过多，求解一般折板结构问题结果并不理想[1]。Gaafar[2]、Yitzhaki[3]、Yitzhaki和Reiss[4]及Whitney等[5]最先在他们的方法里考虑了折板接合处相对位移，对一般折板取得了较好的分析结果。Goldberg与Leve[6]的工作首次给出了折板静态问题准确解。Bar-Yoseph等[7]将Vlasov的薄壁梁理论引入分析折板结构，对于长折板结构获得了较好的分析结果。赖远明等[8]对简支V形折板屋盖开展了非线性分析。最近几十年中，随着计算成本的降低，数值计算方法正逐渐发挥更大的作用物理论文，有限条法[9]、边界元法[10]、有限元法[11]等，都纷纷被引入分析折板结构。
无网格法[12~15]是近年来一种新兴的数值方法。它的特点在于将问题域用一系列点来离散，点与点之间没有直接联系，在这些点上通过函数拟合得到问题的近似解。由于摆脱了网格的限制，在有限元求解困难，需进行复杂耗时网格重构的场合，无网格法具有更好的适应性[16]中国期刊全文数据库。
本文尝试利用无网格的优势，提出一种研究折板及多面板结构非线性弯曲问题的样条核质点法。将折板及多面板视为不同面上平板组成的复合结构，先基于冯·卡门的大挠度理论，使用一阶剪切变形理论(First-order shear deformation theory, FSDT)[17]和样条核质点法(Spline strip kernel particle method, SSKPM)[14]研究各平板的几何非线性问题，再将各平板组合成折板或多面板，研究整个结构的几何非线性行为。文末算例将本文方法解与ANSYS有限元分析结果以及现有文献解做了对比，检验了方法的准确性。本文方法也可用于分析壳、箱梁和封闭结构。
1 样条核质点法[14]
设定义于某个二维域Wxy上的函数u(x, y)可以被函数uh(x, y)近似。uh(x, y)可用分离变量的形式表示为
(1)
其中f(x)代表横向(x轴向)上的B3样条函数近似，若x向上有nb+1个样条节点，则
(2)
这里 为修正的B3样条基函数，p为未知系数；qh(y)代表纵向(y轴向)上的核质点(节点)近似，若y向上有NP个核质点，则
(3)
其中 及qI分别为再生核近似的形函数和相应的未知系数，h为表征核质点影响域大小的参数，、的具体表达式参见文献[14]。
2 平板非线性弯曲列式
按照作者研究折板静力弯曲问题时提出的无网格模型[15]——将折板视为不同平面上平板的集合体——要研究折板和多面板的几何非线性行为，首先应研究各平面上平板的非线性行为。
2.1平板无网格模型
图1是平板的无网格模型，在x向和y向上分别用样条节点和核质点离散平板，各点之间无直接联系，节点的自由度是(u0,v0,w,jx,j y)，其中物理论文，u0, v0, w表示板节点沿x、y、z方向的平动，jx, jy表示绕y轴和x轴的转角。设弹性模量为E，泊松比为m。
图1 平板的无网格模型
Fig 1. Meshfreemodel of a plate.
按样条核质点法[14]和一阶剪切变形理论[17]，板的位移场可近似为
 (4)
其中，式(2)、(3)中的未知系数p与qI整合成了未知的广义节点参数
(5)
 (6)
 ,  ,  和 列式与 相同，形函数
(7)
(5)、(6)式中的右下标“I”表示y向上的第I个核质点，假想有一条平行于x轴的线过这个点，(6)式中的左下标表示这条线上的样条节点位置。
根据冯·卡门大挠度理论，板的应变为
(8)
为方便推导，e重写为
(9)
这里，应变的线性部分包括
， 和
(10)
其中,  ，
 ，下标“,x” 指关于x的偏导数.“,y”指关于y的偏导数。；应变的非线性部分：
(11)
其中，， 。应力为
(12)
这里，， ，
。
2.2平板非线性平衡方程
平板的虚功方程
(13)
其中，，Y为内力和外力的矢量和，F1为外力矢量和， 与 分为平板的虚位移和虚应变。我们可以将应变与节点参数关系写成增量形式为
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