用某一标量势来描述上式的右边是很困难的论文下载。由于 、 有特殊的依赖关系。我们用 来表示是为了强调项与式(1)、(2)中的 对应，从式(13)、(14)可推出二成分BEC。压强梯度 在二分量中沿相同的方向，然而沿相反的方向。这种性质与4He超流体的二流体模型十分类似。
3 二分量BEC中的第一声波和第二声波
在此，我们将从二成分BES的四元方程组中推导出两个波模。在这里假设超流速度
 很小且非线性项可以忽略。由方程 ，方程 可得，
 (15)
 (16)
 (17)
 (18)
其中 ， 二流体模型， 第一声波为二成分中 的振动，第二声波为 的振动。我们假定 、 的振动分别和第一声波、第二声波相对应。现在式(17)、(18)中右边分别是和。可把、写成、的函数形式，
 (19)
 (20)
其中， ，
 ，
从方程（15）-（18）可导出两个波动方程，
 (21)
 (22)
考虑到平面波，在平衡位置 ， 附近以频率 、波矢 的波动形式传播，
波速为
 (23)
其中 ，可通过长波极限下二流体模型，双成分BEC的Bogoliubov激子的色散关系得到。超流体4He的第一声波、第二声波的波模是、的独立振动。然而方程(23)不能描述第一声波、第二声波。因为这两个声波是混合在一起的论文下载。我们发现当 、 消失时、是独立振动的。此条件可简写为，
这两种波模的波速为
 (24)
其中 且 。 对应于 ，是第一声波， 对应于 ，是第二声波。第一声波波速随 增加而增加，第二声波波速随增加而减小。当 时， 变为虚数。这将导致流体力学框架坍塌，或在二分量BEC中出现相变。
4 总结
从耦合GP方程出发，我们用二流体模型的公式表示二分量BEC。此模型与4He超流体中的二流体模型吻合的非常好，得到的两个声模在4He超流体中是完全独立存在的。我们更感兴趣的是第二声模如何与二分量BEC中涡旋发生作用。
参考文献
[1]P. L. Kapitza, Nature 141, 74(1937).
[2]L. Tisza, Nature 141, 913(1938).
[3]L. Landau, J. Phys. U.S.S.R. 5,71 (1941).
[4]H. Takeuchi, N. Suzuki, K. Kasamatsu,H. Saito, and M. Tsubota, Phys. Rev.
B 81,094517 (2010).
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