局部裂纹损伤简支梁的曲率模态特性_摄动方法

(17)

(18)

式中，常数B_i由初始条件确定。

一阶摄动需满足简支梁的边界条件式(7)，式(13)的解可以表示成(j=1,2,3,···)的线性组合

(19)

式中，为线性组合系数。

将式(17)、(10)和(11)代入式(9)，得

(20)

根据式(12)，式(19)可进一步简化成

(21)

为了求得n²个和n个的值，将式(21)乘以第k阶完整梁的模态振型，并在整个梁长度上进行积分，考虑到模态的正交性，则有

(22)

根据，可得

(23)

(24)

于是式(22)可进一步简化为

(25)

根据和的两种情况，可分别求得

(26)

(27)

与式(17)相似，可将二阶摄动表示成完整梁振型(j=1,2,3,···)的线性组合

(28)

式中，为二阶摄动项的线性组合系数。

略去复杂的推导，可得式(14)的解为

(29)

(30)

将式(26)、(29)代入式(10)，将式(27)、(28)、(19)、(28)代入(11)，可求得受损简支梁的特征值和模态振型。

4 受损简支梁的模态振型和模态曲率

将简支梁按梁长进行归一化处理，取结构参数：l=1.0m、b=0.03m、h=0.03m、x_d=0.5m，取材料特性参数(混凝土)：E=20GPa、ρ=2400kg/m³，取裂纹损伤参数：ε=0.2、?l=0.002m。

4.1 受损梁的固有频率

表1 完整梁和损伤梁的前4阶固有频率

Table 1 Former 4order natural frequencies of the intact and damaged beam

完整梁和受损梁的固有频率可分别由式(18)和求得，前4阶振型的固有频率见表1。从表1可以看出，在微小损伤的条件下摄动方法，相对于损伤前的固有频率，梁的固有频率的一阶和二阶变动量都非常小。也就是说，当结构测量时存在噪声的情况时，单纯地希望从梁体的固有频率变化来识别微小的损伤，来获取识别正确结果是比较困难的。另外从表1还可以看出，按式(10)展开到一阶摄动量ε和二阶摄动量ε²，固有频率的结果非常接近。

4.2 受损梁的模态振型和模态曲率

取裂缝损伤位置x_d=0.4l，绘制了损伤简支梁的前4阶的归一化模态振型和模态曲率沿l的分布曲线，如图2和图3所示中国学术期刊网。

比较图2和图3的(a)和(b)可以发现，展开到一阶摄动量ε和二阶摄动量ε²得到的曲线非常接近，一般情况下，展开到一阶摄动量ε基本上能满足精度要求。

从图2可以看出，当存在微小的裂缝损伤时，损伤点处的模态振型都是相当光滑的，和损伤前的模态振型基本上一致。相比之下，图3中损伤点处的模态曲率出现了比较明显的变化，不再像图2那样是光滑的，出现这种现象的原因在于：由式(11)可以看出，在损伤条件一定的情况下，模态曲率的变化量与完整梁的有关，而根据式(16)可得，与的数值相反，而且的数值是的倍，于是随着阶次的增高，值越大，模态曲率的变动量越来越显著。

(a) 展开到一阶摄动量ε

(a) Computed to first order perturbation ε

(b) 展开到二阶摄动量ε²

(b) Computed to second order perturbation ε²

图2 损伤梁的前4阶模态振型

Fig. 2 Former 4 order modal shape of damaged beam

(a) 展开到一阶摄动量ε

(a) Computed to first order perturbation ε

梁长l /m

(b) 展开到二阶摄动量ε²

(b) Computed to second order perturbation ε²

图3 损伤梁的前4阶模态曲率

Fig. 3 Former 4 order modal curvature of damaged beam

为了更好地分析损伤简支梁的曲率变化，绘制了前4阶的模态曲率的变动量沿l的分布曲线，如图4所示。

比较图4(a)和(b)可以发现，两曲线反映的规律完全一致，即随着阶次的增高，模态曲率的变动量越来越大，而且曲率的峰值点正好对应于损伤位置摄动方法，这也印证了很多文献中提出的观点^[10,11]：即用模态曲率进行梁结构的损伤识别，识别效果要优于直接用模态振型。对于前3阶模态曲率，两曲率曲线非常接近，但对于第4阶模态曲率，图4(b)的最大数值明显要高于4(a)，这主要是因为模态阶数越高，值越大，由此产生的模态曲率也越大。

(a) 展开到一阶摄动量ε

(a) Computed to first order perturbation ε

(b) 展开到二阶摄动量ε²

(b) Computed to second order perturbation ε²

图4 损伤梁的前4阶模态曲率的变动量

Fig. 4 Variations of the former 4 order modal curvature of damagedbeam

5 结 论

本文采用摄动理论将裂纹损伤表示成二阶摄动，得到了受损简支梁的固有频率、模态振型和模态曲率的解析式，并进行了数值计算，得到以下主要结论：

(1) 当损伤程度较低时，损伤梁的固有频率和模态振型与完整梁非常接近，即从固有频率和模态振型的变化无法判断简支梁损伤与否，更无法判断损伤的具体位置；

(2) 根据损伤与完整简支梁模态曲率的变动量(即差值)的峰值可以明显地判断出损伤位置，峰值随着模态阶数的增大而增大；

(3) 模态阶数低于三阶时，将损伤展开到二阶摄动和一阶摄动的模态曲率基本接近，但随着阶数的增大，前者计算的模态曲率峰值要高于后者。

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